1、2.1 合情推理与演绎推理21.1 合情推理内 容 标 准学 科 素 养1.了解合情推理的含义2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理.发展逻辑推理应用直观想象提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点一 归纳推理预习教材P2224，思考并完成以下问题如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记 OA1，OA2，OAn 的长度构成数列an(1
2、)试计算 a1，a2，a3，a4 的值提示：由图知：a1OA11，a2OA2 OA21A1A22 1212 2，a3OA3 OA22A2A23 2212 3，a4OA4 OA23A3A24 3212 42.(2)由问题 1 中的结果，你能猜想出数列an的通项公式 an 吗？提示：能猜想出 an n(nN*)(3)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是 180.知识梳理 1.归纳推理的定义由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是、的推理部分对象 全部对
3、象个别事实一般结论 由部分到整体由个别到一般知识点二 类比推理和合情推理预习教材P2429，思考并完成以下问题(1)在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的13.(3)以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征 知识梳理 1.类比推理的定义由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由到的推理3
4、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、，再进行、，然后提出的推理，它们统称为合情推理思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？类似已知特征这些特征特殊特殊观察分析比较联想归纳类比猜想提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠自我检测1数列 3,5,9,17,33，的通项公式 an 等于()A2n B2n1C2n1 D2n1解析：观察可得 3211,5221,9231,17241,33251，由此可得 an2
5、n1.答案：B2立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()A正方体B三棱锥C三棱柱D三棱台解析：由平面几何与立体几何的类比可知，立体几何中的三棱锥是三角形的类比对象故选 B.答案：B3等差数列an中有 2anan1an1(n2，且 nN*)，类比以上结论，在等比数列bn中类似的结论是_解析：类比等差数列，可以类比出结论 b2nbn1bn1(n2，且 nN*)答案：b2nbn1bn1(n2，且 nN*)探究一 数、式中的归纳推理阅读教材 P23例 1 及解答略题型：数、式的归纳例 1(1)观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第
6、 n 个等式可为_(2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a123，且 Sn 1Sn2an(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn 的表达式解析(1)左边为 n 项的乘积；等号右边为两部分：一部分为 2n，另一部分为 n 个连续奇数的乘积第 n 个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)因为 Sn 1Sn2an(n2)，所以 Sn 1Sn2SnSn1(n2)，所以 1Sn2Sn1(n2)当 n1 时，S1a123；当 n2 时，1S22a143，所以 S234.当 n3 时，1S32S254，所以 S345.当 n4 时，1S42S365，所以 S456.
7、猜想：Snn1n2(nN*)答案(1)(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)见解析方法技巧 根据给出的数与式如何归纳一般性结论(步骤)(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点(4)运用归纳推理得出一般结论跟踪探究 1.观察下列各式：1312，132332，13233362，13233343102，照此规律，第 n 个等式可为_解析：左边各项幂的底数右边各项幂的底数11，1,23，1,2,36，1,2,3,410，由左、右两边各项幂的底数之间的关系：11，
8、123，1236，123410，可得一般性结论：132333n3(123n)2，即 132333n3nn122.答案：132333n3nn122探究二 几何图形中的归纳推理例 2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36(2)把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_ 解析(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差
9、数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选 B.(2)第七个三角形数为 123456728.答案(1)B(2)28方法技巧 解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发
10、生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪探究 2.根据如图中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为_解析：分别求出前 4 个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到中线段的条数分别为 1,5,13,29.因 1223,5233,13243,29253所以猜想第 8 个图形中线段的条数为 2813509.答案：509探究三 类比推理及其应用阅读教材 P26例 4 及解答类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想题型：类比推理方法步骤：例 3(1)在等差数列an中，对任意的正整数 n，有a1a2a3a2n12n1an.类比这一性质，在正项等比数列bn中
11、，有_(2)在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A 点在 BC 上的射影，则 AB2BDBC.拓展到空间，在四面体 A-BCD 中，DA平面 ABC，点 O 是 A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对ABC，BOC，BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明解析(1)由 a1a2a2n1 类比成 b1b2b3b2n1，除以 2n1，即商类比成开 2n1 次方，即在正项等比数列bn中，有2n1 b1b2b3b2n1bn.(2)ABC、BOC、BDC 三者面积之间关系为 S2ABCSOBCSDBC.证明如下：如图，设直线 OD 与 BC 相交于点 E，AD
12、平面 ABE，ADAE，ADBC，又AO平面 BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面 AED，BCAE，BCDE.SABC12BCAE，SBOC12BCOE，SBCD12BCDE.在 RtADE 中，由射影定理知 AE2OEDE，S2ABCSBOCSBCD.答案(1)2n1 b1b2b3b2n1bn(2)见解析延伸探究 1.把本例(2)中的射影定理的表示换为“abcos Cccos B，其中 a，b，c分别为角 A，B，C 的对边”类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解析：如图所示，在四面体 P-ABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依
13、次表示平面 PAB，平面PBC，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos.2把本例(2)条件换为“在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，有 1AD2 1AB2 1AC2成立”那么在四面体 A-BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，请说明猜想是否正确及理由解析：猜想：类比 ABAC，ADBC，可以猜想四面体 A-BCD 中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面 BCD，则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.下面证明上述猜想成立：如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于点 F，连接
14、 AF.ABAC，ABAD,ACADA，AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，ABAF.在 RtABF 中，AEBF，1AE2 1AB2 1AF2.在 RtACD 中，AFCD，1AF2 1AC2 1AD2.1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确方法技巧 对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现跟踪探究 3.在公比为 4 的等比数列bn中，
15、若 Tn 是数列bn的前 n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地在公差为 3 的等差数列an中，若 Sn 是an的前 n 项和写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明解析：数列 S20S10，S30S20，S40S30 也是等差数列，且公差为 300.该结论是正确的证明如下：等差数列an的公差 d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)10d10d10d100d300，同理可得(S40S30)(S30S20)300，所以数列 S20S10，S30S20，S40S30 是等差数列，
16、且公差为 300.课后小结(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误素养培优类比推理中找不准类比点致误已知数列an为等差数列，若 ama，anb(nm1，m，nN*)，则 amnnbmanm.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若 bmc，bnd(nm1，m，nN*)，则可以得到 bmn_.易错分析：在等差、等比数列的性质中找不出或找不准类比点，而不能得出结论或致错自我纠正：法一：设数列an的公差为 d1，则 d1anamnm banm.所以 amnamnd1an banmbnamnm.类比上述推导方法，设数列bn的公比为 q，由 bnbmqnm，知 dcqnm，所以 qnm dc，所以 bmnbmqncnmdcnnm dncm.法二：(直接类比)：设数列an的公差为 d1，数列bn的公比为 q.因为等差数列中 ana1(n1)d1，等比数列中 bnb1qn1，且 amnnbmanm，所以 bmnnm dncm.答案：nm dncm04 课时 跟踪训练
