1、第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重点)2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力(难点)1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养.2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养.自 主 预 习 探 新 知 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化
2、为问题；(2)通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把“翻译”成几何关系向量向量向量运算结果2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有等(2)向量的加减法运算体现在_(3)动量mv是向量的运算(4)功是与的数量积所产生的位移s力、速度、加速度、位移力、速度、加速度、位移的合成数乘力F与分解1已知平面内四边形ABCD和点O，若OA a，OB b，OC c，OD d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形 B梯形 C矩形 D平行四边形D 由条件知OA OC OB OD，则OA OB OD OC，即BACD，四边形ABCD为平行四边形2已知ABC中，AB a，AC b，
3、且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形D不能确定A 由条件知BAC为钝角，所以ABC为钝角三角形3已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_J.300 WFs6100cos 60300(J)4已知三个力F1(3,4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1F2F30，则F3的坐标为_(5,1)由F1F2F30，则F3(F1F2)，F1(3,4)，F2(2，5)，F1F2(5，1)，即F3(5,1)合 作 探 究 释 疑 难 向量在平面几何中的应用 探究问题1用向量法如何证明平面几何中ABCD?
4、提示：法一：选择一组向量作基底；用基底表示AB和CD；证明ABCD 的值为0；给出几何结论ABCD.法二：先求AB，CD 的坐标，AB(x1，y1)，CD(x2，y2)，再计算ABCD 的值为0，从而得到几何结论ABCD.2用向量法如何证明平面几何中ABCD?提示：法一：选择一组向量作基底；用基底表示AB和CD；寻找实数，使 AB CD，即 AB CD；给出几何结论ABCD.法二：先求AB，CD 的坐标，AB(x1，y1)，CD(x2，y2)利用向量共线的坐标关系x1y2x2y10得到AB CD，再给出几何结论ABCD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有AB
5、CD 得到ABCD.【例1】(1)已知非零向量 AB 与 AC 满足AB|AB|AC|AC|BC 0且AB|AB|CA|AC|12，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰三角形D等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BFFC21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积思路点拨：(1)先由平行四边形法则分析 AB|AB|AC|AC|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由 AB|AB|CA|AC|12求BAC，最后判断ABC的形状(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形AP
6、CD的面积(1)C 由AB|AB|AC|AC|BC 0，得A的平分线垂直于BC，所以ABAC，设AB，CA的夹角为，而 AB|AB|CA|AC|cos 12，又0，所以BAC323，故ABC为等腰三角形(2)解 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，设P(x，y)，AP(x，y)，AF(6,4)，EP(x3，y)，EC(3,6)由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得4x6y0，6x33y0，x92，y3，S四边形APCDS正方形ABCDSAEPSCEB 3612331236452.1
7、将本例(1)的条件改为(OB OC)(OB OC 2OA)0，试判断ABC的形状解(OB OC)(OB OC 2OA)0，(OB OC)(OB OA OC OA)0，CB(ABAC)0，(ABAC)(ABAC)0，AB 2AC 20，即|AB|2|AC|20，所以|AB|AC|，ABC是等腰三角形2将本例(2)的条件“BFFC21”改为“BFFC11”，求证：AFDE.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，则中点E(3,0)，F(6,3)，AF(6,3)，DE(3，6)，AFDE 633(6)0，AFDE，AFDE.用向量法解决平面几何问
8、题的两种思想 1几何法：选取适当的基底基底中的向量尽量已知模或夹角，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算2坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.向量在解析几何中的应用【例 2】已知点 A(1,0)，直线 l：y2x6，点 R 是直线 l 上的一点，若RA2AP，求点 P 的轨迹方程思路点拨：解 设 P(x，y)，R(x0，y0)，则RA(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，AP(x，y)(1,0)(x1，y)由RA2AP，得1x02x1，y02y.又点 R 在直线 l：y2x6 上，y02x06，1x0
9、2x2，62x02y，由得 x032x，代入得 62(32x)2y，整理得 y2x，即为点 P 的轨迹方程用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题跟进训练1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程解(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM DE，因为点D，E分别为边BC，CA的中点，所以点D，E的坐标分别为D(1,1)，E(3，1)，DM(x1，y1)，DE
10、(2，2)，所以(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则 CN AB，所以CN AB0，又CN(x6，y2)，AB(4,4)，所以4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程.平面向量在物理中的应用 探究问题1向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数
11、，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中【例3】(1)一物体在力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为23，如图所示求F3的大小；求F2与F3的夹角思路点拨：(1)求出合力、位移的坐标表示 利用数量积求功(2)由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3 用向量模的计算公式求F3的大小 用F1，F2表示F3构造F2F3利用夹角公式求解(1)40 因为F1(3，4)，F
12、2(2，5)，F3(3,1)，所以合力FF1F2F3(8，8)，AB(1,4)，则FAB188440，即三个力的合力所做的功为40.(2)解 由题意|F3|F1F2|，因为|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为23，所以|F3|F1F2|1421212 3.设F2与F3的夹角为，因为F3(F1F2)，所以F3F2F1F2F2F2，所以 32cos 1212 4，所以cos 32，所以56.向量在物理中的应用 1求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.2用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运
13、算使问题解决；结果还原为物理问题.跟进训练2一条宽为3 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB3 km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解 如图所示，设 AC 为水流速度，AD 为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸 根据题意知ACAE，在RtADE和ACED中，|DE|AC|2，|AD|4，AED90，|AE|AD|2|DE|22 3，32 30.5(h)，sin EAD12，EAD30.船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时0
14、.5小时.课 堂 小 结 提 素 养 1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：转化：把物理问题转化为数学问题；建模：建立以向量为主体的数学模型；求解：求出数学模型的相关解；回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象1下列命题正确的是()A若ABCD，则直线AB与直线CD平行B若ABC是直角三角形，则必有CACB0CABC中，若ABBCAB
15、 20，则ABC为等边三角形D|AB|xBxA2yByA2D A错，可能为同一条直线；B错，直角不一定是C；C错，由条件可得AB(BCAB)ABAC0，BAC为直角，即ABC为直角三角形，非等边三角形2过点M(2,3)，且垂直于向量u(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40Dx2y40A 设P(x，y)是所求直线上任一点，则MP u.又MP(x2，y3)，所以2(x2)(y3)0，即2xy70.3已知作用在点A的三个力f1(3,4)，f2(2，5)，f3(3,1)，且A(1,1)，则合力ff1f2f3的终点坐标为()A(9,1)B(1,9)C(9,0)D(0,9)A f
16、f1f2f3(3,4)(2，5)(3,1)(8,0)，设终点为B(x，y)，则(x1，y1)(8,0)，所以x18，y10，所以x9，y1，所以终点坐标为(9,1)4已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明 以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(略)设ACa，则A(a,0)，B(0，a)，D0，a2，C(0,0)，E13a，23a.因为AD a，a2，CE13a，23a，所以AD CEa13aa223a0，所以AD CE，即ADCE.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
