1、学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1函数f(x)x33x21在x_处取得极小值【解析】由题意得，f(x)3x26x3x(x2)当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0.故当x2时取得极小值【答案】22(2016南通质检)若函数f(x)x2x在x0处有极值，则x0_.【解析】f(x)2xx2xln 22x(1xln 2)，由已知f(x0)0，2x0(1x0ln 2)0，即1x0ln 20.x0.【答案】3设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为_【解析】yexa，令y0得xln a，令ln a0，则a1.【答案】(1，)4若函数yx36x2m的
2、极大值为13，则实数m等于_【解析】y3x212x3x(x4)令y0得x10，x24.x，y，y之间的关系如下表x(，0)0(0,4)4(4，)y00y极小值极大值由表可知y极大值f(4)32m13.m19.【答案】195已知函数f(x)x3(35cos )x23x在x1处有极值，则cos 2_.【解析】f(x)3x22(35cos )x3，且f(x)在x1处有极值f(1)32(35cos )30，cos ，因此cos 22cos21.【答案】6已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图134所示，则下列说法中正确的是_(填序号)图134当x时
3、函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值【解析】由图象可知，当x(，1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时，函数取得极大值，故只有不正确【答案】7已知函数f(x)x49x5，则f(x)的图象在(1,3)内与x轴的交点的个数为_【解析】f(x)4x39，易知f(x)在(1,3)上单调递增，则f(x)f(1)50，所以f(x)在(1,3)上单调递增，f(1)f(3)0.f(x)的图象在(1，3)内与x轴的交点个数为1.【答案】18(2016石家庄高二检测)若函数f(x)x3x2ax
4、4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_【解析】f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a5.【答案】1,5)二、解答题9已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值. 【导学号：01580014】【解】(1)y3ax22bx.由题意，知即解得(2)由(1)知y6x39x2.所以y18x218x18x(x1)令y0，解得x11，x20.所以当x0时，y0；当0x0；当x1时，y0)上存在极值，求实数a的取值范围【解】因
5、为f(x)，x0，则f(x)，当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，所以解得a0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.【答案】(，e2函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则ab_.【解析】f(x)2bx3(x0)，函数的极值点为x11，x22，x11，x22是方程f(x)0的两根，即为2bx23xa0的两根，由根与系数的关系知解得故ab.【答案】3已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f
6、(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x12ax.已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，其等价于ln x12ax0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)ln x的图象与函数g(x)2ax1的图象两个交点以下研究临界状态：如图当函数h(x)ln x与函数g(x)2ax1的图象相切时，设切点为A(m，ln m)，其中m0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k，2a.又直线g(x)2ax1过点(0，1)，k，.解得m1，当两线相切时，a.当a0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点所求a的取值范围是.4如果函数yf(x)的导函数的图象如图135所示，给出下列判断：图135函数
7、yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)取极小值；当x时，函数yf(x)取极大值则上述判断中正确的是_(填序号)【解析】当x(3，2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(2,3)时，f(x)0)，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)由点(0,6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.
