1、利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及主要有以下两种考查形式：(1)研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类讨论思想(2)由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取值范围典题 1(2016成都模拟)已知关于 x 的函数 f(x)ln xa(x1)2(aR)(1)求函数 f(x)在点 P(1,0)处的切线方程；(2)若函数 f(x)有极小值，试求 a 的取值范围；(3)若在区间1，)上，函数 f(x)不出现在直线 yx1的上方，试求 a 的最大值听前试做(1)f(x)1x2a(x1)(x0)，f(1)1，又 f(1)0，f(x)在点
2、P(1,0)处的切线方程为 yx1.(2)f(x)2ax22ax1x(x0)，令 g(x)2ax22ax1(x0)，a0 时，f(x)0 无解，f(x)无极小值；a0，所以 g(x)0 有两解 x1，x2，且 x10 x2；0 x0，f(x)0，xx2 时，g(x)0，f(x)0 时，g(0)10，g(x)的对称轴为 x12，要使函数 f(x)有极小值，则 0 即 4a28a0.a2，a2.此时 g(x)0 有两解 x3，x40，不妨设 x3x4，则 x3xx4 时，g(x)0，f(x)x4 时，g(x)0，f(x)0，此时 f(x)有极小值 f(x4)综上所述，a 的取值范围为(2，)(3)
3、由题意，f(x)x1，x1，即 ln xa(x1)2x1，x1.下证：ln xx1，x0，记 h(x)ln x(x1)ln xx1，x0，则 h(x)1x11xx，x0，0 x0，x1 时，h(x)0.a0 时，f(x)ln xx1；a0 时，取 x11a，则 f(x)ln xa(x1)(x1)ln11a a11a1(x1)ln 1x1x1，与题意矛盾故 a 的最大值为 0.函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的
4、位置进行讨论(2)极值讨论策略：极值的讨论以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值已知函数 f(x)12x2ax(a1)ln x，(1)若 a2，求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调区间解：(1)当 a2 时，f(x)12x22xln x，f(x)x21x，f(1)12232，f(1)0，函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y32.(2)由题知
5、，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)xaa1x x2axa1xx1x1ax，令 f(x)0，解得 x11，x2a1，当 a2 时，f(x)0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区间是(0，)当 a11，即 a2 时，在区间(0,1)和(a1，)上，f(x)0；在区间(1，a1)上，f(x)0，故函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a1，)，单调增减区间是(1，a1)当 0a11，即 1a0；在区间(a1,1)上，f(x)0，故函数 f(x)的单调递增区间是(0，a1)和(1，)，单调递减区间是(a1,1)当 a10，即 a1 时，在区间(0,1)上，f(x)0，故函数 f(x)
6、的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)此类试题一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题典题 2 已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)axm 在1e，e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围听前试做(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐
7、标为(1,1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则 g(x)2x2x2x1x1x.x1e，e，当 g(x)0 时，x1.当1ex0；当 1xe 时，g(x)0.故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1.又 g1e m21e2，g(e)m2e2，g(e)g1e 4e21e20，则 g(e)0，g1e m21e20，解得 1m21e2，实数 m 的取值范围是1，21e2.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围(2016济南模拟)已知函数 f(x)exaxa(
8、aR 且 a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1.在区间(，0)上，f(x)0，f(x)单调递增在 x0 处，f(x)取得极小值，a1.易知 f(x)在区间2,0上单调递减，在区间(0,1上单调递增，且 f(2)1e23，f(1)e，f(2)f(1)故 f(x)在区间2,1上的最大值为1e23.(2)f(x)exa，由于 ex0.当 a0 时，f(x)0，f(x)是增函数，且当
9、x1 时，f(x)exa(x1)0.当 x0 时，取 x1a，则 f1a 1a1a1a0 时，函数 f(x)存在零点，不满足题意当 a0 时，令 f(x)exa0，解得 xln(a)在区间(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，当 xln(a)时，f(x)取得最小值函数 f(x)不存在零点等价于 f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0 或 x0；当1x0 时，f(x)1，即 a12时，令 u(x)0，则 xln 2a.当 x0，ln 2a)时，u(x)0，则 g(x)ex2ax2a 在0，ln 2a)上单调递减，所以 g(x)g(0)12a0，f(x)
10、ax1ax2，其中 a0.1.当 a0，f(x)在(0，)上单调递增2.当 a0 时，由 f(x)ax1ax2 0，得 x1a，当 x0，1a 时，f(x)0，f(x)在1a，上单调递增由已知 1x1x2e，1x11x20，则x1fx1x2fx21x11x22，可转化为 x1f(x1)x2f(x2)21x1 1x2，即x1f(x1)2x1x2f(x2)2x2恒成立设 g(x)xf(x)2x，由于 1x1x2e，函数 g(x)在1，e上单调递减，又 g(x)1xa xln x2x，则 g(x)1a 2x2ln x10 在1，e上恒成立，进 而 转 化 为 1a 2x2 ln x 1 在 1，e
11、上 恒 成 立，即 1a2x2ln x1 max，x1，e设(x)2x2ln x1，则(x)4x31x，令(x)0，得x2，当 x1,2)时，(x)0，函数(x)在(2，e上单调递增又(1)3，(e)22e23，从而1a3，即 00，a1)求函数 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；求函数 f(x)的单调递增区间；若存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，等价于在区间12，2 上，函数 f(x)ming(x)max.由可知在区间12，2 上，g(x)的最大值为 g(2)1
12、.在区间12，2 上，f(x)axxln x1 恒成立等价于 axx2ln x恒成立设 h(x)xx2ln x，x12，2，则 h(x)12xln xx，易知h(x)在区间12，2 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当12x0.所以函数 h(x)xx2ln x 在区间12，1 上单调递增，在区间1,2上单调递减，所以 h(x)maxh(1)1，所以实数 a 的取值范围是1，)(2)对 f(x)求导，得 f(x)axln a2xln a，可得 f(0)0.因为 f(0)1，所以函数 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.由知，f(x)axln a2xln a2
13、x(ax1)ln a.因为当 a0，a1 时，总有 f(x)在 R 上是增函数，又 f(0)0，所以不等式 f(x)0 的解集为(0，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，)因为存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1 成立，而当 x1,1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以只需 f(x)maxf(x)mine1 即可对于 x1,1，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以 f(x)minf(0)1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)因为 f(1)f(1)(a1ln a)1a1ln a a1a2ln a，令 g(a)a1a2ln a(a0)，
14、因为 g(a)1 1a22a11a20，所以 g(a)a1a2ln a 在 a(0，)上是增函数，而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0，即 f(1)f(1)；当 0a1 时，g(a)0，即 f(1)1 时，f(1)f(0)e1，即 aln ae1，函数 yaln a 在 a(1，)上是增函数，解得 ae；当 0a1 时，f(1)f(0)e1，即1aln ae1，函数 y1aln a 在 a(0,1)上是减函数，解得 0a1e.综上可知，所求实数 a 的取值范围为0，1e e，)双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法本例(1)第问是“存在性”问题，转化方法是：如果存在 x1，x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立，则可转化为 Mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式 Mg(x)maxg(x)min 成立时的 M 的最大取值；第问是“恒成立”问题，转化方法是：如果对于任意的 x1，x212，2，都有 f(x1)g(x2)成立，则可转化为在区间12，2 上，f(x)ming(x)max，求解得到实数 a 的取值范围
