1、3 向量的坐标表示和空间向量基本原理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2 空间向量基本定理课时目标 1.掌握空间向量的标准正交分解.2.了解空间向量基本定理1.标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴正方向的_i，j，k 叫作标准正交基2标准正交分解设 i，j，k 为标准正交基，对空间任意向量 a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得 axiyjzk，则把 axiyjzk 叫作 a 的标准正交分解3向量的坐标表示在 a 的标准正交分解中三元有序实数_叫做空间向量 a 的坐标，_叫作向量 a 的坐标表示4向量坐标与投影(1)i，j，k 为标准正交基，axiyj
2、zk，那么：ai_，aj_，ak_.把 x，y，z 分别称为向量 a 在 x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影(2)向量的坐标等于它在_上的投影(3)一般地，若 b0 为 b 的单位向量，则称_为向量 a 在向量 b 上的投影5空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3 是空间三个_的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3 使得_空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底一、选择题1在以下 3 个命题中，真命题的个数是()三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面；若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基
3、底，则 a，b 共线；若 a，b 是两个不共线向量，而 cab(，R 且 0)，则 a，b，c 构成空间的一个基底A0 B1 C2 D32已知 O、A、B、C 为空间不共面的四点，且向量 aOA OB OC，向量 bOA OBOC，则与 a、b 不能构成空间基底的是()A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB3以下四个命题中，正确的是()A若OP 12OA 13OB，则 P、A、B 三点共线B设向量 a，b，c 是空间一个基底，则 ab，bc，ca 构成空间的另一个基底C|(ab)c|a|b|c|DABC 是直角三角形的充要条件是ABAC04设 OABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G
4、是 OG1 上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC，则(x，y，z)为()A(14，14，14)B(34，34，34)C(13，13，13)D(23，23，23)5已知点 A 在基底 a，b，c 下的坐标为(8,6,4)，其中 aij，bjk，cki，则点A 在基底 i，j，k 下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10)D(4,3,2)6已知空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OC c，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，则MN 等于()A.12a23b12cB23a12b12cC.12a12b12cD
5、.23a23b12c题 号123456答 案二、填空题7设 i，j，k 是空间向量的一个单位正交基底，则向量 a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_8已知空间四边形 ABCD 中，ABa2c，CD 5a6b8c，对角线 AC、BD 的中点分别为 E、F，则EF_.9已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为 AC1 与 BD1 的交点，AO xAByBCzCC1，则 xyz_.三、解答题10.四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设OA a，OC b，OP c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示BF、BE、AE、EF.11已知 PA 垂
6、直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且 PAAD，求MN、DC 的坐标能力提升12甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为 F1，F2，F3，若 i、j、k 是空间中的三个不共面的基向量，F1i2j3k，F22i3jk，F33i4j5k，则这三名工人的合力 Fxiyjzk，求 x、y、z.13已知 e1，e2，e3 是空间的一个基底，试问向量 a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3 是否共面？并说明理由1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底
7、的某一个向量2对于OP xOA yOB zOC，当且仅当 xyz1 时，P、A、B、C 四点共面3对于基底 a，b，c 除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理31 空间向量的标准正交分解与坐标表示32 空间向量基本定理知识梳理1单位向量3(x，y，z)a(x，y，z)4(1)x y z(2)坐标轴正方向(3)ab0|a|cosa，b5不共
8、面 a1e12e23e3作业设计1C 命题，是真命题，命题是假命题2C OC 12(ab)，OC 与 a、b 共面，a，b，OC 不能构成空间基底3B A 中若OP 12OA 12OB，则 P、A、B 三点共线，故 A 错；B 中，假设存在实数 k1，k2，使 cak1(ab)k2(bc)k1a(k1k2)bk2c，则有k11；k1k20；k21.方程组无解，即向量 ab，bc，ca 不共面，故 B 正确C 中，ab|a|b|cosa，b|a|b|，故 C 错D 中，由ABAC0ABC 是直角三角形，但ABC 是直角三角形，可能角 B 等于90，则有BABC0，故 D 错4A 因为OG 34O
9、G1 34(OA AG1)34OA 342312(ABAC)34OA 14(OB OA)(OC OA)14OA 14OB 14OC，而OG xOA yOB zOC，所以 x14，y14，z14.5A 设点 A 在基底a，b，c下对应的向量为 p，则 p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点 A 在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)6B MN ON OM 12(OB OC)23OA23a12b12c.7(3,2，1)，(2,4,2)83a3b5c解析 EFEAABBF，又EFECCD DF，两式相加得 2EF(EAEC)ABCD(BFDF)E 为 AC 中点，故E
10、AEC0，同理BFDF 0，2EFABCD(a2c)(5a6b8c)6a6b10c，EF3a3b5c.9.32解析 AO 12AC1 12(ABBCCC1)故 xyz12，xyz32.10解 BF12BP12(BO OP)12(cba)12a12b12c.BEBCCEa12CPa12(CO OP)a12b12c.AEAPPEAO OP 12(PO OC)ac12(cb)a12b12c.EF12CB12OA 12a.11解 PAADAB，且 PA平面 ABCD，ADAB，可设DA e1，ABe2，APe3.以 e1、e2、e3 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系MN MA APPNMA AP
11、12PCMA AP12(PAAD DC)12e2e312(e3e1e2)12e112e3，MN 12，0，12，DC ABe2(0,1,0)12解 由题意，得 FF1F2F3(i2j3k)(2i3jk)(3i4j5k)2ij7k.又因为 Fxiyjzk，所以 x2，y1，z7.13解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数 x，y，z，使得 xaybzc0，即 x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0.亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30.由于 e1，e2，e3 不共面，故得3xy2z0，2xyz0，x3y4z0.求得 z5x，代入得 y7x，取 x1，则 y7，z5，于是a7b5c0，即 a7b5c，所以 a，b，c 三向量共面
