1、求目标函数的最值(截距)【例 1】若变量 x，y 满足2xy40 x2y50 x0y0，则 z3x2y的最大值是_【解析】作出可行域如图所示目标函数化为：y32xz2，令 z0，画直线 y32x，及其平行线，如图，当它经过两直线的交点时，取得取大值解方程组2xy40 x2y50，得x10y20.所以 zmax31022070.求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z0，画它的平行线，看y轴上的截距的最值，就是最优解1320101264xyzyzxyzuxyxyz 设，满足约束条件，求 的最大【变式练习1】值与最小值minmax12101012241,14.0,16.zxyxyxyux
2、yBuCu 将 代入约束条件得：，目标函数为：，作出可行域，当目标函数经过点时，当目标函数【经过点时，】解析求目标函数的最值(距离、斜率)22220240330 xyxyxyxyzxy 已知实数、满足，求 的最大值和【例2】最小值()2403302,32203301,02402200,2xyxyAxyxyCxyxyB根据条件作出可行域 如图 解，得 点的坐标为解，得 点的坐标为解，得 点的坐标为【解析】22222222222 02313|201 02|4.521zxyAxyzOAd 求 的最大值和最小值就是求可行域内的点与原点的距离的平方的最大值和最小值显然，原点到 点的距离的平方最大，而到直
3、线 的距离的平方最小所以 的最大值为 ，最小值为在线性规划中，形如z(xa)2(ya)2型的(或可以化为此类型的)目标函数都可以转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方(特别提醒：是“距离的平方”，而非“距离”)的最值问题，通过点与点的距离或点到直线的距离公式求解而形如型的则转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率来求ybxa223412390416011xyxyxyxyyxyx【变式练习2已知变量，满足不等式组，求 和的取】值范围【解析】作出可行域如右图中的阴影部分ABC，图中各点的坐标分别为A(4,0)，B(3,4)，C(0,3)，D(1,1)由图可知x2y2的
4、最小值是原点到直线AC：3x4y120的距离的平方，最大值是线段OB的长度的平方；2212111255144252510114513=21011215yADxCDACdOBOBxyADkCDkyx 的最小值是直线的斜率，最大值是直线的斜率因为原点到直线的距离为，线段的长度为，所以 的取值范围是，因为直线的斜率为 ，直线的斜率为，所以的取值范围是 ，利 用 线 性 规 划解决实际问题【例3】某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A
5、、B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？002400250032.xyzxyxyxyxyzxy 设甲、乙两种产品每月产量分别为、件，收入为 元则、满足，目标函数 作出可行域，如图的阴影部【解析】分 24002500200,10032032002 100 800.200100800 xyxyAl xylAz解方程组，得交点 的坐标为作直线：，将直线 向上平移到过点时，取得最大值即甲、乙两种产品每月产量分别为件、件时，可使收入最大，为元本题是利用线性规划的基础知识和图解法解决生活中的实际问题首先要弄清题意，找出变量的约束条件，列出目标函数，然后由约束条件画出可行
6、域，最后在一组平行线中，找出在可行域内过A点的直线，把点代入可得到最大值(即收入最大)【变式练习3】两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三种规格成品.某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最少？钢板 规格A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123215218327*().xyxyxyxyxyzxy N设需截第一种钢板 张，第二种钢板 张由题意知，约束条件为，【解析，目标函数 钢板总数 为 作出可行域，如】右图所示32718 39A().215550.18 39,55xyxylxylAz解，得交点，作直线
7、：将直线 向上平移，经过 点时，可使 最小，但不是整数，不合要求通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与原点距离最近的是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解，所以，要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少，有下面两种方法：截第一种钢板3张，第二种钢板9张，截第一种钢板4张，第二种钢板8张，两种方法都最少要截两种钢板共12张1.表示图中阴影部分的二元一次不等式组为_ 011xyxy 011.(1)(1)(0)011BCxACyABxyACyABxyBCxxyxy 、所在的直线方程是 ，、所在的直线方程是 ，、所在的直线方程是 图中阴影部分表示的区域都包括边界，且是在直线
8、上方，直线下方，直线右边所以图中阴影部分表示的不等式组为【解析】2.已知平面区域如图所示，若zmxy(m0)，在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m _7202273755514207.20ACmkm由题意得，所以【解析】3.不等式|x1|y1|2 表示的平面区域的面积为 8.【解析】|x1|y1|2 可化为x1y1xy4或x1y1xy2或x1y1xy2或x1y1xy0其平面区域如图：所以面积 S12448.04.0221yAxyxaxyaA 若 为不等式组表示的平面区域，则当 从 连续变化到 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为多少？【解析】作出可行域(如图)A是一个边长为2的直
9、角三角形PON，其面积为2，P(0,2)21 3M(-,).12 21111224172.44yxxyMPQxyaA 解，得交点所以三角形的面积为，则动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 本节内容考查数形结合的数学思想，主要以三种方式进行：一是直接给出线性约束条件和线性目标函数，求区域的面积和线性目标函数在区域内的最值；二是要求按给出的二元一次不等式组和画出的几个图象，判断哪一个是正确的，或要求按给出图象写出所表示的二元一次不等式组；三是利用线性规划知识解决实际问题1二元一次不等式(组)表示的区域的判定方法(1)函数ykxb表示的直线将平面分成上下两部分，则不等式表示区域ykxb表示直线ykx
10、b上方的半平面(不包括边界)ykxb 表示直线ykxb上方的半平面(包括边界)ykxb 表示直线ykxb下方的半平面(包括边界)(2)方程xa表示的直线将平面分成左右两部分，则不等式表示区域xa表示直线xa右边的半平面(包括边界)xa表示直线xa左边的半平面(不包括边界)x0表示y轴右边的半平面(包括边界)x0B0表示直线上方的半平面区域(不包括边界)表示直线下方的半平面区域(不包括边界)AxByC0表示直线下方的半平面区域(包括边界)表示直线上方的半平面区域(包括边界)2解线性规划应用问题的一般步骤：(1)设变量，分析题意，写出约束条件和目标函数；(2)作出相应的图象，找出可行域(注意边界)，求出交点坐标；(3)作出直线l0：axby0；(4)找出最优解，确定直线l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(5)求出目标函数的最大值、最小值3运用线性规划解题时需注意的几点：(1)正确画出可行域，交点一定要求准；(2)明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事；(3)一般情况下，最优解在可行域的顶点(有些实际问题可能在附近的整点)或边界取得，要注意边界的虚实
