1、第一章 三角函数 1 数列 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力.自 主 预 习 探 新 知 1平方关系(1)公式：sin2cos2.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于.11思考：对任意的角，sin22cos221是否成立？提示 成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的
2、表达形式无关2商数关系(1)公式：sin cos k2，kZ.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于平方关系公式的推导角的正切tan 如图，设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sin，cos x，在RtOPM中，1，因此1，即1.yOM2MP2x2y2sin2cos21化简1sin25的结果是()Acos5 Bcos5Csin5Dsin5A 1sin25cos25cos5 cos5.2若sin 45，且是第二象限角，则tan 的值等于()A43B.34C34D43A sin 45且 是第二象限角，cos 145235，tan sin cos 43.3已知tan 12，且，32，则s
3、in 的值是 55 由tan 12得sin cos 12，即cos 2sin.又sin2cos21，5sin21，sin 55，又，32，sin 55.4已知sin cos sin cos 2，则sin cos 的值为310 由已知得tan 1tan 12，解得tan 3，sin cos sin cos sin2cos2 tan tan213321 310.合 作 探 究 释 疑 难 知一求二【例1】(1)已知，32，tan 2，则cos.(2)已知cos 817，求sin，tan 的值思路点拨：(1)根据tan 2和sin2cos21列方程组求cos.(2)先由已知条件判断角是第几象限角，再
4、分类讨论求sin，tan.(1)55 由已知得sin cos 2，sin2cos21，由得sin 2cos 代入得4cos2cos21，所以cos215，又，32，所以cos 0，所以cos 55.(2)解 cos 8170，是第二或第三象限的角 如果是第二象限角，那么 sin 1cos21 8172 1517，tan sin cos 1517 817158.如果是第三象限角，同理可得 sin 1cos21517，tan 158.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2)
5、若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号跟进训练1已知sin 3cos 0，求sin，cos 的值解 sin 3cos 0，sin 3cos.又sin2cos21，(3cos)2cos21，即10cos21，cos 1010.又由sin 3cos，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限 当角的终边在第二象限时，cos 1010，sin 310 10；当角的终边在第四象限时，cos 1010，sin 310 10.给值求值 探究问题1齐次
6、式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值2sin cos 与sin cos 有怎样的关系，在求值中能否相互转化？提示：(sin cos)212sin cos，若含sin cos t，则sin cos t212.这三者在求值中是可以转化的【例2】(1)已知sin cos 713，(0，)，则tan.(2)已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值：3sin cos 2sin 3cos；sin22sin cos 1.思路点拨：(1)法一：求sin cos 求sin cos 求s
7、in 和cos 求tan 法二：求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程 求tan (2)求tan 换元或弦化切求值(1)125 法一：(构建方程组)因为sin cos 713，所以sin2cos22sin cos 49169，即2sin cos 120169.因为(0，)，所以sin 0，cos 0.所以sin cos sin cos 2 12sin cos 1713.由解得sin 1213，cos 513，所以tan sin cos 125.法二：(弦化切)同法一求出sin cos 60169，sin cos sin2cos2 60169，tan tan21 60169，整理得60t
8、an2169tan 600，解得tan 512或tan 125.由sin cos 7130知|sin|cos|，故tan 125.(2)解 由sin cos sin cos 2，化简得sin 3cos，所以tan 3.法一(换元)原式 33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 89.法二(弦化切)原式3tan 12tan 333123389.原式sin22sin cos sin2cos21 tan22tan tan2113223321 11310.1将本例(1)条件“(0，)”改为“2，0，”其他条件不变，结果又如何？解 由例(1)求出2sin cos 120169，因为2
9、，0，所以sin 0，cos 0，所以sin cos sin cos 2 12sin cos 1713.与sin cos 713联立解得sin 513，cos 1213，所以tan sin cos 512.2将本例(1)的条件“sin cos 713”改为“sin cos 18”，其他条件不变，求cos sin.解 因为sin cos 180，所以2，所以cos sin 0，cos sin 12sin cos 1218 52.1sin cos，sin cos，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos)212sin cos.2已
10、知tan m，求关于sin，cos 的齐次式的值：解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以可除以cos，这样可将被求式化为关于tan 的表达式，然后代入tan m的值，从而完成被求式的求值提醒：求sin cos 或sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号应用同角三角函数关系式化简【例3】(1)化简2sin2112cos2.(2)化简sin 1cos tan sin tan sin.(其中是第三象限角)思路点拨：(1)将cos21sin2代入即可化简(2)首先将tan 化为si
11、n cos，然后化简根式，最后约分(1)1 原式2sin21121sin22sin212sin211.(2)原式sin 1cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 21cos2 sin 1cos 1cos|sin|.又因为是第三象限角，所以sin 0.所以原式sin 1cos 1cos sin 1.角函数式化简的常用方法 1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于
12、因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.跟进训练2化简下列各式：(1)tan 1sin21(是第二象限角)；(2)2sin4x2cos4x2sin2xcos2x1.解(1)tan 1sin21tan 1sin2sin2 tan cos2sin2sin cos cos sin .因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以原式sin cos cos sin 1.(2)2sin4x2cos4x2sin2xcos2x1 2sin2xcos2x24sin2xcos2x2sin2x
13、cos2x1 24sin2xcos2x2sin2xcos2x12.应用同角三角函数关系式证明 探究问题1证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左(2)从左证到右(3)证明左右归一(4)变更命题法如：欲证明MNPQ，则可证MQNP或证QNPM等2在证明1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时如何巧用“1”的代换 提示：在求证1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时，观察等式左边有2sin cos，它和1相加应该想到“1”的代换，即1sin2cos2，所以等式左边sin2cos22sin cos sin cos 1sin c
14、os sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos sin cos 1sin cos 1 sin cos 右边【例4】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .思路点拨：解答本题可由关系式tan sin cos 将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明 证明 法一：(切化弦)左边sin2sin sin cos sin 1cos，右边sin sin cos sin21cos sin.因为sin21cos2(1cos)(1cos)，所以sin 1cos 1cos sin，所以左边右边 所以原等式成立 法二：(由右至左)因为右边t
15、an2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan sin tan sin 左边，所以原等式成立1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)提醒：解决此类问题要有整体代换思想跟进训练3求证：(1)1tan21cos2；(2)12sin co
16、s sin2cos2 1tan tan 1.证明(1)左边1sin2cos2cos2sin2cos21cos2右边 1tan21cos2.(2)左边sin2cos22sin cos sin2cos2 sin2cos22sin cos cos2sin2cos2cos2 tan22tan 1tan21tan 12tan 1tan 1 tan 1tan 1右边 故等式成立课 堂 小 结 提 素 养 1利用同角三角函数的基本关系式，sin，cos，tan 可知一求二2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是：项数尽量少；次数尽量低；分母、根式中尽量不含三角函数；能求值的尽可能求值3
17、已知 sin cos，sin cos，sin cos 三个中的一个，便可求出另外两个，进而求出 sin，cos，tan 等4关于 sin，cos 的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以 cos 化成 的正切函数进行相关计算注意“1”的代换1下列各式中成立的是()Asin2cos21 Btan sin cos(任意)Ccos221sin22Dsin 1cos2C A中不是同角；B中k 2(kZ)；D中符号不能确定；只有C正确2已知2，52，cos 45，则tan()A34B.34C34D.43A 因为cos 45，且2，52，所以sin 35，所以tan sin cos 34.3已知tan 12，则 2sin cos sin2cos2的值是43 因为 tan 12，所以 2sin cos sin2cos2 2tan tan21212122143.4(1)化简 sin2sin4，其中是第二象限角；(2)求证：1tan21cos2.解(1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos 0，所以 sin2sin4 sin21sin2 sin2cos2sin cos.(2)证明：1tan21sin2cos2cos2sin2cos21cos2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
