1、第31讲 平面向量的概念_|/1/.AB DCABCDababababbcacabbcac下列各命题中，真命题的个数为若，则四边形是平行四边形；若，则 或 ；若 ，则 ；若，则【例】【解析】正确不正确，因为两向量相等必须大小相同且方向相同，模相等是向量相等的必要不充分条件不正确，当b0时，ac不一定成立正确答案:2向量的相关概念较多，且容易混淆，所以在学习中要分清，理解各概念的实质注意向量相等应满足的两 个 条 件：模 相 等；方 向 相同还要注意零向量的特殊性，尤其是判定向量共线时不要忽略零向量【变式练习1】下列命题中正确的有_.单位向量都相等；长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；
2、若非零向量a，b满足|a|b|，且a与b同向，则ab；对于任意向量a、b，必有|ab|a|b|.向量的线性表示2.DEABCABACMNDEBCBCBDDE CEMN如图所示，、分别是的边、的中点，、分别是、的中点已知，试用、分别表示、和【例】abab1/2121.211221122111.424DEBCDEBCDECE CB BD DEMN MD DB BNED DBBC由三角形的中位 知，故，即所以 ，【解析】aabaababaab用已知向量来表示另外一些向量，是用向量解题的基本功，除综合利用向量的加、减法运算及数乘向量外，还需要充分利用平面几何中的一些定理【变式练习 2】设平面上的三个向
3、量OA、OB、OC(如图)满足：OA 与OB 的夹角为23，OC 与OB 的夹角为6，|OA|OB|1，|OC|2 3，OC OA OB(，R)，则 的值为 6.【解析】在直角三角形中，因为|OA|OB|1，|OC|2 3，利用三角函数可将OC 进行分解，如图得到：OAOCtan302，OB OCcos304，所以OC 2OA 4OB，则 2，4，所以 6.向量共线 12332823abOAOAOAABCkkk设，是两个不共线的非零向量若 ，求证：、三点共线；若 和共线，求实数 的例值【】ababababab(3)(2()2(3)(3)2412ABBCABAB BCABBCBABCababab
4、ababab证明：因为，所以、共线又、有公共【解析点，所以、三】点共线(2)因为8akb和ka2b共线，所以存在实数，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.因为a与b不共线，所以，解得2，所以k24.本题从正反两方面考查了向量共线的充要条件，即b与非零向量a共线，则必存在唯一实数，使ba；若ba(R)，则b与a共线三点共线问题可利用向量共线的充要条件来解决3.1()3tabtt若，是两个不共线的非零向量，若 与 起点相【变式练同，为何值时，三向量的终点在一上？习直】线abRabab1()32332313213211()23tttttt 设 ，得 ，因为，不共线，所以，所以，故【解析
5、】时，三向量终点在同一直线上abaabababababab1.已知e1，e2是一对不共线的非零向量，若ae1e2，b2e1e2，且a，b共线，则_。22222.12mmmmm 因为，共线，所以，得，【解故，解得】析1212abbaeeee2.2453ABCDABBCCDABCD在四边形中，其中、不共线，则四边形是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _abababab0()(2453)2(4)2.|2|AB BC CD DADAAB BC CDBCDABCBCABCD因为，所以 又，所以四边形是梯【解析】形abababab梯形3.ABCDACBDOEODAECDFACBDAF在平行四边形中，与交
6、于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，则等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ab21+33ab12.23121().333DFFCAFAC CFCD利用平面几何知识得出 所以 【】解析aabaab4.在ABO 中，已知 P 为线段 AB 上的一点，且|AP|3|PB|，试用OA，OB 表示出OP 为 OP 14OA 34OB .【解析】OP OA APOA 34ABOA 34(OB OA)14OA 34OB.5.283()12ABBCCDkkkkABD设，是两个不共线的非零向量，如果 ，试确定实数 的值，使 的取值满足向量 与向量 共线；证明：、三点共线121212
7、121212eeeeeeeeeeee【解析】(1)若向量ke1e2与向量e1ke2共线，则存在实数，使得ke1e2(e1ke2)成立，即ke1e2e1ke2，则，解得k1.283()555/.2BD BC CDABBDABBDBDBD ABBABD证明：因为，又因为 ，所以，所以又，有公共点，所以、三点共线12121212eeeeeeee本节内容主要从四个方面考查，一是考查向量的有关概念；二是向量加法、减法及数乘，平面向量基本定理的应用；三是共线向量与三点共线问题在这些方面注意使用数形结合思想解决问题常用定理与公式：11ABCOAOBOCO 三点共线定理：平面上三点、共线的充要条件是：存在实数、，使，其中 ，为平面内的任意一点121121.1()(2200)nnnOABMABOMOA OBABCGAB BC CAGA GB GCaaaOOAA AAA 平面内有任意三个点、若是线段的中点，则；中，为重心，则；有限个向量，相加，可以从点 出发，逐一作向量，12aa1121()nnnnOAOAA AAAOA则向量即这些向量的和，即 向量加法的多边形法则n12naaaa当 An 和 O 重 合 时(即 上 述 折 线OA1A2An成封闭折线时)，则和向量为零向量注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段
