1、记概念公式1求导公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ln x)1x；(logax)1xln a；(4)(ex)ex；(ax)axln a.2导数的四则运算法则(1)u(x)v(x)u(x)v(x)(2)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(3)uxvx uxvxuxvxvx2(v(x)0)3导数与极值函数 f(x)在 x0 处的导数 f(x0)0 且 f(x)在 x0 附近“左正右负”f(x)在 x0 处取极大值；函数 f(x)在 x0 处的导数 f(x0)0且 f(x)在 x0 附近“左负右正”f(x)在 x0 处取极小值览规律技巧“切点”
2、的应用规律(1)若题目中没有给出“切点”，就必须先设出切点(2)切点的三种情况：切点在切线上；切点在曲线上；切点处的导数值等于切线的斜率练经典考题一、选择题1已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2)的值等于()A2 B2 C.94 D94解析：选 D f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)1x，所以 f(2)223f(2)12，解得 f(2)94.2已知函数 f(x)2x1x 2ln x，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()A2xy20 B2xy20Cxy20 Dy0解析：选 B 函数 f(x)2x
3、1x 2ln x，f(1)0，f(x)21 1x2 2x.曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)2.从而曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y02(x1)，即 2xy20.3若曲线 f(x)13x3x2mx 的所有切线中，只有一条与直线 xy30 垂直，则实数 m 的值等于()A0 B2 C0 或 2 D3解析：选 B f(x)x22xm，直线 xy30 的斜率为1，由题意知关于 x 的方程 x22xm1，即(x1)22m 有且仅有一解，所以 m2.4已知函数 f(x)sin xcos x 且 f(x)2f(x)，f(x)是 f(x)的导函数，则 sin 2
4、x()A.13 B35 C.35 D13解析：选 C 由 f(x)sin xcos x 且 f(x)2f(x)得 cos xsin x2sin x2cos x，所以tan x3，sin 2x 2sin xcos xsin2xcos2x 2tan x1tan2x 61035.5已知函数 f(x)的导函数 f(x)a(xb)2c 的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是()解析：选 D 由导函数图象可知，当 x0 时，f(x)0，函数f(x)单调递减，排除 A，B.当 0 x0，函数 f(x)单调递增，因此，当 x0 时，f(x)取得极小值，排除 C.6函数 f(x)axx21(a0)的单调递
5、增区间是()A(，1)B(1,1)C(1，)D(，1)(1，)解析：选 B 函数 f(x)的定义域为 R，f(x)a1x2x212a1x1xx212.由于 a0，要使 f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得 x(1,1)7函数 f(x)的图象如图所示，f(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排列正确的是()A0f(1)f(2)f(2)f(1)B0f(2)f(2)f(1)f(1)C0f(2)f(1)f(2)f(1)D0f(2)f(1)f(1)f2f121f(2)0.8已知 a0，函数 f(x)(x22ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是()A.0，34B.12，
6、34C.34，D.0，12解析：选 C f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意当 x1,1时，f(x)0 恒成立，即 x2(22a)x2a0 恒成立，即1222a12a0，1222a2a0，解得 a34.9定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)1，且对任意 xR 都有f(x)x212的解集为()A(1,2)B(0,1)C(1,1)D(1，)解析：选 C 令 g(x)f(x)12(x1)，g(x)f(x)120，则 xx212f(x2)x2120g(x2)0 x211x0，当 0 x1 时，f(x)0，故函数 f(x)在区间1,0)上单调递增，在区间(0
7、,1上单调递减，故函数 f(x)在 x0 处取得极大值，亦即最大值，即 f(x)maxf(0)2.11已知函数 f(x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点 x1，x2，则()A当 a0 时，x1x20B当 a0，x1x20 时，x1x20D当 a0 时，x1x20，x1x20解析：选 B 由于函数有且仅有两个不同的零点，因此必有一个零点是重零点，则令 f(x)a(xx1)(xx2)2ax3a(x12x2)x2ax2(2x1x2)xax1x22，则 ax1x222，ax2(2x1x2)0，当 a0 时，由式得，x10，x1x22x210 时，由式得，x10 且 x20，由式得，2x1x
8、20，x22x1.因此，x1x2x10，x1x22x210)的导数：先两边同取自然对数 ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导得到1yyg(x)ln f(x)g(x)1fxf(x)，于是得到 yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x)1fxf(x)，运用此方法求得函数 yx1x(x0)的一个单调递增区间是()A(e,4)B(3,6)C(0，e)D(2,3)解析：选 C 由题意知 f(x)x，g(x)1x，则 f(x)1，g(x)1x2，所以 yx1x 1x2ln x1x1x x1x1ln xx2，由 yx1x1ln xx20 得 1ln x0，解得 0 x0，a0 在区间(1,1
9、)上有解，即 texx 在区间(1,1)上有解，而在区间(1,1)上 exxe1，te1.答案：(，e1)16已知函数 f(x)ex(sin xcos x)(0 x2 015)，则函数 f(x)的各极大值之和为_解析：函数 f(x)ex(sin xcos x)，f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2exsin x令 f(x)0，解得 xk(kZ)，当 2kx0，原函数单调递增，当 2kx2k2(kZ)时，f(x)0，原函数单调递减，当 x2k(kZ)时，函数 f(x)取得极大值，此时 f(2k)e2k sin(2k)cos(2k)e2k (kZ)，又0 x2 015，0 和 2 015 都不是极值点，函数 f(x)的各极大值之和为 ee3e5e2 011e2 013e1e21 0071e2e1e2 0141e2.答案：e1e2 0141e2
