1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第6讲 离散型随机变量的均值与方差 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点一 离散型随机变量的均值与方差解析【例题 1】(2013浙江卷)设袋子中装有 a 个红球，b
2、个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 X 为取出此 2 球所得分数之和，求 X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 Y为取出此球所得分数若 E(Y)53，D(Y)59，求 abc.(1)由题意得 X2，3，4，5，6.P(X3)23266 13，故 P(X2)336614，P(X4)2312266 518，P(X5)22166 19，P(X6)1166 136.考点突破结束放映返回目录第4页 所以 X
3、 的分布列为Y123 PaabcbabccabcX23456 P141351819136(2)由题意知 Y 的分布列为所以 E(Y)aabc2babc3cabc53，D(Y)1532aabc2532babc3532cabc59.化简得2ab4c0，a4b11c0.解得a3c，b2c，故 abc321.考点一 离散型随机变量的均值与方差考点突破结束放映返回目录第5页 规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意性质的应用：若随机变量 X 的均值为 E(X)，则对应随机变量 aXb 的均值是 aE(X)b，
4、方差为 a2D(X)考点一 离散型随机变量的均值与方差考点突破结束放映返回目录第6页【训练 1】袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号(1)求 X 的分布列、期望和方差；(2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值解析(1)X 的分布列为X01234P1212011032015E(X)0121 1202 1103 3204151.5.D(X)(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.考点一 离散型随机变
5、量的均值与方差考点突破结束放映返回目录第7页【训练 1】袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号(1)求 X 的分布列、期望和方差；(2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值(2)由 D(Y)a2D(X)，得 a22.7511，即 a2.又 E(Y)aE(X)b，考点一 离散型随机变量的均值与方差所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2.当 a2 时，由 121.5b，得 b4.a2，b2或a2，b4，考点突破结束放映返回目录第8页 解析考点二 与二项分布有关的均值、
6、方差【例题 2】(2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响考点突破结束放映返回目录第9页 考点二 与二项分布有
7、关的均值、方差记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5”，因为 P(X5)2325 415，即这 2 人的累计得分 X3 的概率为1115.所以 P(A)1P(X5)1115，(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知可得，X1B2，23，X2B2，25，考点突破结束放映返回目录第10页 考点二 与二项分布有关的均值、方差所以 E(X1)22343，E(X2)22545，因此 E(2X1)2E(X1)
8、83，E(3X2)3E(X2)125.因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为 Y2，则 Y1，Y2 的分布列为：Y1 0 2 4 P 194949 Y2036 P9251225425E(Y1)01924944983，E(Y2)0 925312256 425125，因为 E(Y1)E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大考点突破结束放映返回目录第11页 规律方法求随机变量 X 的均值与方差时，可首先分析 X 是否服从二项分布，如果 XB(n，p
9、)，则用公式 E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量考点二 与二项分布有关的均值、方差考点突破结束放映返回目录第12页 训练 2(2014辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 E(X)及方差 D(X)解析(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100
10、 个”，A2 表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于50 个”，因此考点二 与二项分布有关的均值、方差考点突破结束放映返回目录第13页 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，考点二 与二项分布有关的均值、方差P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为P(X0)C03(10.6)30.064，P(X1)C130.6(10.6)20.288，P(X2)C230.62(10.6)0.432，P(
11、X3)C330.630.216.分布列为X0123 P0.0640.2880.4320.216因为 XB(3，0.6)，所以数学期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.考点突破结束放映返回目录第14页 考点三 均值与方差在决策中的应用例 3(2014湖北卷)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段
12、的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点突破结束放映返回目录第15页 考点三 均值与方差在决策中的应用解析(1)依题意，p1P(40X120)5500.1.由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超
13、过 120的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p3910449103110 0.947 7.(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装 2 台发电机的情形依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，考点突破结束放映返回目录第16页 考点三 均值与方差在决策中的应用此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 00
14、0)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如右Y 4 200 10 000 P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装 3 台发电机的情形依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 400，因此 P(Y3 400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得 Y 的分布列如右 Y 3 400 9 200 15 000 P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总
15、利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台考点突破结束放映返回目录第18页 规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 考点三 均值与方差在决策中的应用考点突破结束放映返回目录第19页 解析 若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元训练 3 某投资公司在 2015 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发
16、生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和 115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由则 X1的分布列为考点三 均值与方差在决策中的应用X1 300 150P7929E(X1)30079(150)29200(万元)考点突破结束放映返回目录第20页 若按“项目二”投资，设获利 X2 万元，则 X2 的分布列为：考点三 均值与方差在决策中的应用X2 500 300 0P3513115E(X2)50035(300)130 115200(万元)D(
17、X1)(300200)279(150200)22935 000，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2 115140 000.所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资考点突破结束放映返回目录第21页 思想方法课堂小结1掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aXb)aE(X)b；E(XY)E(X)E(Y)；D(aXb)a2D(X)；(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p)2基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 YaXb 的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解结束放映返回目录第22页 易错防范课堂小结1在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差结束放映返回目录第23页（见教辅）
