1、三角函数与解三角形热点问题 三年真题考情核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2019全国，11；2019北京，9；2019全国，12，2019天津，7；2018全国，10；2018全国，16；2018全国，15；2017浙江，18；2017山东，16；2017全国，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2019全国，10；2019浙江，18；2018浙江，18；2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4；2017全国，17；2017山东，9逻辑推理、数学运算解三角形2019全国，17；2019全国，18；2019北京，15；2019江苏，15；2018全国，17；2018北京
2、，15；2018天津，15；2017全国，17逻辑推理、数学运算 热点聚焦突破教材链接高考三角函数的图象与性质教材探究(必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9已知函数y(sin xcos x)22cos2x.(1)求它的递减区间；(2)求它的最大值和最小值.题目10已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4 x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.试题评析两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为yAsin(x)k的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已
3、知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)的定义域为x|xk，kZ，f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).设A，B，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.探究提高1.将f(x)变形为f(x)2sin是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x”视为一个
4、整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】 (2019浙江卷)设函数f(x)sin x，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y的值域.解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故2sin xcos 0，所以cos 0.又0，2)，因此或.(2)ysin2sin211cos.由于xR，知cos1，1，因此，所求函数的值域为.教你如何审题三角函数与平面向量【例题】 (2020湘赣十四校联考)已知
5、向量m(sin x，1)，n(，cos x)，且函数f(x)mn.(1)若x，且f(x)，求sin x的值；(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，ABC的面积为，且fbsin C，求ABC的周长.审题路线自主解答解(1)f(x)mn(sin x，1)(，cos x)sin xcos x2sin.f(x)，sin.又x，x，cos.sin xsin.(2)fbsin C，2sin Absin C，即6sin Absin C.由正弦定理可知6abc.又a，bc6.由已知ABC的面积等于bcsin A，sin A.又A，A.由余弦定理，得b2c22bccos Aa2
6、7，故b2c213，(bc)225，bc5，ABC的周长为abc5.探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.【尝试训练】 (2020郑州质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m，n，mn.(1)求tan Atan B的值；(2)求的最小值.解(1)由题意可得mncos2
7、cos2，即cos(AB)cos(AB)0，展开可得cos Acos B9sin Asin B，所以tan Atan B.(2)由余弦定理可得c2a2b22abcos C，所以tan Ctan(AB)(tan Atan B)2，当且仅当tan Atan B时等号成立.所以的最小值为.满分答题示范解三角形【例题】 (12分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.规范解答解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.
8、用正弦定理化角为边2由余弦定理得cos A.用余弦定理化边为角4因为0A180，所以A60.5(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，6即cos Csin C2sin C，可得cos(C60)，两角和余弦公式的逆用8因为0C120，所以sin(C60)，同角基本关系式的应用10故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.两角差正弦公式的应用12高考状元满分心得写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0A180就有分，没写就扣1分，第(
9、2)问中0C120也是如此.写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，第(2)问中cos(C60)等.保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos Csin C2sin C化简如果出现错误，本题第(2)问最多得1分.构建模板利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化 由三角函数值及角的范围求角 由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换求出中间值 利用已知角与未知角的关系求三角函数值 检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】 (2019天津卷)在ABC中，内
10、角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B.又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.因为bc2a，所以ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，从而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcos cos 2Bsin . 热点跟踪训练1.(2019北京卷)在ABC中，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值.解(
11、1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c，解得c5，所以b7.(2)由cos B得sin B.由正弦定理得sin Csin B.在ABC中，角B是钝角，所以角C为锐角，所以cos C.所以sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.2.(2019青岛二中二模)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且满足asin Bbcos A0，a4.(1)求A的大小；(2)(一题多解)若D是BC的中点，AD3，求ABC的面积.解(1)asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0
12、.因为B(0，)，所以sin B0，所以sin Acos A0，所以tan A.又A(0，)，所以A.(2)法一在ABC中，a2b2c22bccos BACb2c2bc，即b2c216bc.在ABD中，cos ADB.在ACD中，cos ADC.又因为ADBADC，所以cos ADBcos ADC0，即0，所以b2c226，则16bc26，所以bc10.所以SABCbcsin BAC10.法二由(1)得cos BAC，则，所以b2c2bc16.因为()，则2(222)(c2bcb2)9，即b2c2bc36.，得2bc20，所以bc10.所以SABCbcsin BAC10.法三因为()()()(
13、)22945，所以|cos BACbc5，即bc10，所以SABCbcsin BAC10.3.已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x，1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值.解(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调递减区间为(kZ).(2)f(A)12cos1，cos1，又2A，2A，即A.a，由余弦定理
14、得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.4.已知函数f(x)cos x(cos xsin x).(1)求f(x)的最小值；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)1，SABC，c，求ABC的周长.解(1)f(x)cos x(cos xsin x)cos2xsin xcos xsin 2xsin.当sin1时，f(x)取得最小值.(2)f(C)sin1，sin，C(0，)，2C，2C，C.SABCabsin C，ab3.又(ab)22abcos
15、72ab，(ab)216，即ab4，abc4，故ABC的周长为4.5.(2020福州质检)在RtABC中，ACB90，点D，E分别在边AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD3，求sin A的值.解(1)如图，在ECD中，SEDCCECDsin DCE35sin DCE3，所以sin DCE，因为0DCE90，所以cos DCE.所以DE2CE2CD22CDCEcos DCE92523528，所以DE2.(2)因为ACB90，所以sin ACDsin(90DCE)cos DCE，在ADC中，由正弦定理得，即，所以sin A.6.(2020昆明诊断)已知
16、a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且满足(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C.(1)求角A的大小；(2)设a，S为ABC的面积，求Scos Bcos C的最大值.解(1)(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C，根据正弦定理，知(abc)(bca)bc，即b2c2a2bc.由余弦定理，得cos A.又A(0，)，所以A.(2)根据a，A及正弦定理得2，b2sin B，c2sin C.Sbcsin A2sin B2sin Csin Bsin C.Scos Bcos Csin Bsin Ccos Bcos Ccos(BC).故当BC时，Scos Bcos C取得最大值.
