1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积(或内积)ab|a|b|cos
2、_.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).4.平
3、面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.常用结论与微点提醒1.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别.2.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线.3.平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而
4、不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若abac(a0)，则bc.()解析(1)两个向量夹角的范围是0，.(4)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修4P108AT1改编)设a，b是非零向量.“ab|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为.因为ab|a|b|cos |a|b|，所以cos 1，即a与b的夹角为0，故ab.当ab时，a与b的夹角为0或
5、180，所以ab|a|b|cos |a|b|，所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件.答案A3.(新教材必修第二册P21例12改编)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b(2ab)等于()A.2 B.1 C.6 D.18解析由题意知cosa，bsin sinsin ，所以ab|a|b|cosa，b123，b(2ab)2abb218.答案D4.(2019全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A.3 B.2 C.2 D.3解析因为(3，t)(2，3)(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1，0)，所以21302.答案C5.(2020云南跨
6、区调研)平面向量a与b的夹角为45，a(1，1)，|b|2，则|3ab|等于()A.136 B.2C. D.解析依题意得a22，ab2cos 452，|3ab|.答案D6.(2017全国卷)已知向量a(1，2)，b(m，1).若向量ab与a垂直，则m_.解析由题意得ab(m1，3)，因为ab与a垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得m7.答案7考点一平面向量的数量积运算【例1】 (1)(2019天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.(2)(一题多解)(2019郑州二模)在RtABC中，BCA90，CB2，CA4，P在
7、边AC的中线BD上，则的最小值为()A. B.0 C.4 D.1解析(1)如图，在等腰ABE中，易得BAEABE30，故BE2.则()()252cos 3052cos 1801222cos 15015101261.(2)法一由题意知，BD2，且CBD45.因为点P在AC边的中线BD上，所以设(01)，如图所示，所以()()22|cos 1352(2)28248，当时，取得最小值，故选A.法二依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为yx2，因为点P在AC边的中线BD上，所以可设P(t，2t)(
8、0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以t2t(2t)2t22t2，当t时，取得最小值，故选A.答案(1)1(2)A规律方法平面向量数量积的三种运算方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.提醒解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2020皖南八校模拟)已知|a|b|
9、1，向量a与b的夹角为45，则(a2b)a_.(2)(2020咸阳模拟)在ABC中，|BC|4，()0，则()A.4 B.4 C.8 D.8解析(1)因为|a|b|1，向量a与b的夹角为45，所以(a2b)aa22ab|a|22|a|b|cos 451.(2)设M为BC的中点，则2，又()0，20，即，ABC是等腰三角形且ABAC，则|cos BBMBC248.答案(1)1(2)D考点二平面向量数量积的应用多维探究角度1垂直问题【例21】 (2019宜昌二模)已知ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为()A. B. C.6 D.解析因为，且，所以有()()22(1)220，
10、整理可得(1)34cos 1209160，解得.答案A规律方法两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.角度2长度问题【例22】 (1)(2019珠海调研)平面向量a，b满足|a|4，|b|2，ab在a方向上的投影为5，则|a2b|为()A.2 B.4 C.8 D.16(2)已知向量，满足|2，2，若(，R)，且1，则|的最小值为()A.1 B. C. D.解析(1)由题意知|ab|cosab，a|ab|5，解得ab4，(a2b)2a24ab
11、4b216，|a2b|4.(2)|2()2(1)2424(1)22(1)，因为2，所以|2424(1)22(1)2424443，当时，|取得最小值.答案(1)B(2)D规律方法1.利用数量积求解向量模的问题常用的公式：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，则|a|.2.最值问题是利用条件构造以参数为自变量的函数，因此函数方法是最基本的方法之一.角度3夹角问题【例23】 (2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b.0a，b
12、，a与b的夹角为.故选B.答案B规律方法求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系.(2)若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cosa，b.注意：a，b0，.【训练2】 (1)(角度1)(2019北京卷)已知向量a(4，3)，b(6，m)，且ab，则m_.(2)(角度2)(2020临川九校联考)已知平面向量a(2m1，2)，b(2，3m2)，且ab，则|2a3b|_.(3)(角度3)(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.解析(1)由ab，得ab0.又a(4，3)，b(6，m)
13、，463m0，解得m8.(2)由ab，得ab2(2m1)2(3m2)0，解得m1，a(1，2)，b(2，1)，2a3b(2，4)(6，3)(8，1)，|2a3b|.(3)由题意，得cosa，c.答案(1)8(2)(3)考点三平面向量与三角函数【例3】 (2019珠海摸底)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影.解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，且B是ABC一内
14、角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，c7(舍去)，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.【训练3】 已知向量a，b(sin x，sin x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
15、f1，a2，求ABC面积的最大值并说明此时ABC的形状.解(1)由已知得a(sin x，cos x)，又b(sin x，sin x)，则f(x)absin2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xsin，f(x)的最小正周期T，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值.(2)锐角ABC中，因为fsin1，sin，A.因为a2b2c22bccos A，所以12b2c2bc，所以b2c2bc122bc，所以bc12(当且仅当bc2时等号成立)，此时ABC为等边三角形.SABCbcsin Abc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值3.赢得高分巧用解析法解平面向量压轴
16、题平面向量问题一般有两种解决方法：一是利用平面向量基本定理选择基底，利用向量的线性运算解决；二是通过建立坐标系转化为代数运算解决.【典例】 (一题多解)已知在OAB中，OAOB2，AB2，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为_.解析法一易知AOB120，记a，b，则ab2，设ab(01)，则(1)ab，则(ab)(1)ab1226，当时，取最小值，此时，|，ab(3ab)，|3ab|，所以此时向量与的夹角的余弦值为.法二取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0，1)，A(，0)，B(，0)，
17、设P(x，0)(x).则(x，0)(x，1)x2x，当x时，取最小值.此时，所以向量与的夹角的余弦值为.答案思维升华对比以上两种方法，你会发现第二种解法，即解析法思路更加简单，解析法可能不是最快的解题方法，但一定是思路最简单的方法，这种方法可能运算繁琐，但和线性运算相比，可大大减少思路卡壳的可能.【训练】 (一题多解)(2019江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_.解析法一如图，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6()22，整理可得2
18、32，所以.法二以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.O.6，(3，0)(a，b)6(a1，b)，即3a6，a2b23，AC.答案数学运算、数学建模平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范、细致运算的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与三角形的“四
19、心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.三角形的“四心”：设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.类型1平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心 B.ABC的垂心C.ABC的重心 D.AB边的中点解析取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心.答案C类型2
20、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A. B. C.4 D.6解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍.在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.答案B类型3平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O是平
21、面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析因为()，所以()，所以()(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.答案B类型4平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. B.C. D.解析取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因为2()2222，所以，把代入、得解得x，y.故实数对(x，y)为.
22、答案AA级基础巩固一、选择题1.(2020河南非凡联盟联考)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若(1，2)，(2，t)，则|()A. B.5 C.2 D.20解析由题意知，122t0，t1，|.答案A2.已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析根据向量数量积的定义可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.答案B3.(2020乌海模拟)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，ab(，
23、)，则|2ab|等于()A.2 B. C. D.2解析根据题意，|ab|，则(ab)2a2b22ab52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则|2ab|2，故选A.答案A4.(2019哈尔滨质检)已知平面向量a，b满足(a2b)(3ab)，且|a|b|，则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为.因为|a|b|，所以|b|2|a|.因为(a2b)(3ab)，所以(a2b)(3ab)3a25ab2b23|a|25|a|b|cos 2|b|23|a|25|a|2|a|cos 2(2|a|)25|a|210|a|2cos 0，解
24、得cos .又0，所以.故选C.答案C5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB4，BCCD2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，则当0时，的值所在的区间是()A. B.C. D.解析在等腰梯形ABCD中，AB4，BCCD2，可得，60，所以，60，120，所以424，424，222，又，所以，则，所以()()220，即22720，解得(舍去)或.答案B二、填空题6.(2019全国卷)已知向量a(2，2)，b(8，6)，则cosa，b_.解析由题意得ab2(8)264，|a|2，|b|10.cosa，b.答案7.如图，在ABC中，O为BC的中点，若AB1，AC3，与的夹角为60，则|_.解析
25、|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案8.(2019佛山二模)在RtABC中，B90，BC2，AB1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若2，则_.解析如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以(1，2).因为D为BC的中点，所以D(0，1)，因为2，所以E，所以，所以(1，2).答案三、解答题9.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值.解(1
26、)由题设知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4).所以|2，|4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)由题设知：(2，1)，t(32t，5t).由(t)0，得(32t，5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.10.已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.则tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，
27、从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.B级能力提升11.(2019北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为点A，B，C不共线，所以线段AB，BC，AC构成一个三角形ABC，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因模为非负数，故不等号两边平方得222|cos 222|cos (为与的夹角)，整理得4|cos 0，故cos 0，即为锐角.当与的夹角为锐角，可得0，则有|2|22|2|22，即有|2|2，则|2|2，故|，所以
28、“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件.故选C.答案C12.(一题多解)(2020武汉调研)在ABC中，0，|4，|5，D为线段BC的中点，点E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则()A. B. C. D.7解析法一|3，()()()(|2|2).法二依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为|5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的方程为y(x2)，令x0，得y，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为(4，3)，所以(4，3)，故选A.答案A13.(2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量
29、，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是_.解析设O为坐标原点，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线yx(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min(|)min1.答案114.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值.解(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos
30、 C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2).故ABC的面积Sacsin B，因此ABC的面积的最大值为.C级创新猜想15.(新定义题)定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若e是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_(填序号).解析当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故正确；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故错误；当ab与c共线时，则存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故错误；当e与a不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故正确.综上，结论一定正确的是.答案
