1、圆锥曲线与方程一、选择题1设F1，F2分别是椭圆1的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4 B3 C2 D5A由题意知，在PF1F2中，|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.2椭圆9x2y236的短轴长为()A2 B4 C6 D12B原方程可化为1，所以b24，b2，从而短轴长为2b4.3已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1C所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e，c5，a4，b2c2a29，所求双曲线方程为1.4设F1，F2是椭圆1的焦点，
2、P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A16 B18C20 D不确定BPF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为2a10，c4，所以周长为10818.5椭圆1(ab0)的左，右顶点分别是A，B，左，右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A BC D2B由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，e2，e.6已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1A依题意知，焦点在x轴
3、上，c4，2，a2.b2c2a212.故双曲线的方程为1.7已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2By22px的焦点坐标为，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.8已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左，右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个 B4个 C6个 D8个C当PF1F2为直角时，
4、根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个9过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1A由得A(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线C的方程为1.10“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B当方程1表示椭圆时，
5、必有所以1m3且m2；但当1m0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A BpC2p D无法确定C当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.二、填空题16在椭圆y21中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为4把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.17已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为.yx由题意知，e，得.又c2b2a2，所以.故.所以，所以该双曲线的渐近线方程为yx.18经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的
6、标准方程是1设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.19已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且12c2，则此椭圆离心率的取值范围是.设P(x，y)，则12(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.三、解答题20已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为，P(2,1)是C1上一点(1)求椭圆C1的方程；(2)设A，B，Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P，Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E，证明：直线PD，
7、PE与y轴围成的三角形为等腰三角形解(1)由题意，得解得椭圆的方程为1.(2)证明：由题意，得A(2，1)，B(2,1)，直线l的斜率为，设直线l的方程为yxt，由消去y，得x22tx2t240，4t2160，解得2t2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x22t，x1x22t24，kPDkPE，而(y21)(x12)(y11)(x22)x1x2t(x1x2)40，kPDkPE0，直线PD，PE与y轴围成的三角形为等腰三角形21.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E
8、于点B(如图)，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解(1)由抛物线的定义得|AF|2.|AF|3，即23，解得p2，抛物线E的方程为y24x.(2)法一证明：点A(2，m)在抛物线E：y24x上，m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，kGA，kGB.kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.点A(2，m)在抛物线E：y24x上m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
