1、第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义A级基础巩固一、选择题1已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为 ()A.B.C3D2解析：由数量积的几何意义知所以ab32.答案：D2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1B2C3D5解析：因为|ab|2(ab)2a2b22ab10，|ab|2(ab)2a2b22ab6，两式相减得：4ab4，所以ab1.答案：A3已知向量a，b满足|a|2，|b|1，ab1，则向量a与ab的夹角为()A.B.C.D.解析：|ab| ，设向量a与ab的夹角为，则cos ，又0，所以.答案：A4(2015陕西卷)
2、对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析：根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立答案：B5若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A2B4C6D12解析：因为(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，所以|a|22|a|2
3、40，所以|a|6.答案：C二、填空题6已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120，而a在e方向上的投影为2，则|a|_解析：因为|a|cos 1202，所以|a|2，所以|a|4.答案：47已知|a|b|c|1，且满足3am b7c0，其中a与b的夹角为60，则实数m_解析：因为3am b7c0，所以3am b7c，所以(3am b)2(7c)2，化简得9m26m ab49.又ab|a| |b|cos 60，所以m23m400，解得m5或m8.答案：8或58已知ab，|a|2，|b|1，且3a2b与ab垂直，则等于_解析：因为(3a2b)( ab)所以( ab)(3a2b)0，所以3 a2
4、(23)ab2b20.又因为|a|2，|b|1，ab，所以12(23)21cos 9020，所以1220，所以.答案：三、解答题9已知|a|1，|b|，(1)若ab且同向，求ab；(2)若向量ab的夹角为135，求|ab|.解：(1)若ab且同向则a与b夹角为0，此时ab|a|b|.(2)|ab| 1.10设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.(1)求|a3b|的值；(2)求3ab与a3b夹角的正弦值解：(1)由|3ab|，得(3ab)25，所以9a26abb25.因为a2|a|21，b2|b2|1，所以96ab15.所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.
5、(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b231831.所以cos .因为0 180，所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.B级能力提升1点O是ABC所在平面上一点，且满足，则点O是ABC的()A重心 B垂心C内心 D外心解析：因为，所以()0，即0, 则.同理，.所以O是ABC的垂心答案：B2如图所示，ABC中C90且ACBC4，点M满足3，则_解析：()4.答案：43在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0.由2，得，.所以()()2368118.(2)由题意，所以2361818.又6，所以186，所以36.又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.
