1、第十节变化率与导数、导数的运算授课提示:对应学生用书第37页基础梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处导数的定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y|xx0,即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地,切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1
2、f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0,且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0,且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)1求导其实质是一种数学运算即求导运算,有公式和法则,也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点,如(xn)nxn1中,n0且nQ*.,要满足“”前后各代数式有意义,且导数都存在2(1)f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)
3、的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)0.(2)f(x)是一个函数,与f(x0)不同3(1)“过”与“在”:曲线yf(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点 四基自测1(基础点:求导数值)若f(x)xex,则f(1)等于()A0BeC2e De2答案:C2(易错点:导数的运算)已知f(x)xln x,则f(x)()A. Bx1C.x Dln x1答案:D3(基
4、础点:求切线)函数f(x)x3在(0,0)处的切线为()A不存在 Bx0Cy0 Dyx答案:C4(易错点:求切点)曲线yex过点(0,0)的切线的斜率为_答案:e授课提示:对应学生用书第38页考点一导数的计算挖掘1求导函数值/ 自主练透例1(1)设函数f(x)1ex的图像与x轴交于P点(x0,y0),则f(x0)_解析令1ex00,x00,而f(x)ex,f(x0)f(0)e01.答案1(2)若函数f(x)ln xf(1)x23x4,则f(1)_解析f(x)2f(1)x3,f(1)12f(1)3,解得f(1)2,f(1)1438.答案8(3)若f(x)sin,则f_解析f(x)sin,f(x)
5、cos,fcos.答案挖掘2已知导数值求自变量/ 互动探究例2(1)已知函数f(x)x(2 020ln x)且f(x0)2 021,则x0()Ae2B1Cln 2 De解析f(x)x(2 020ln x)2 020xxln x,f(x)2 020ln xx2 021ln x,又f(x0)2 021,ln x00,x01.答案B(2)已知函数f(x)的导函数f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,若f(x0)0,则x0_解析f(x)2xf(1)ln x,f(x)2xf(1)(ln x)2f(1),f(1)2f(1)1,即f(1)1.f(x0)2,20,x0.答案破题技法1.求导之前,应利用
6、代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导2求导公式或求导法则中,要注意“”“”的变化,如(cos x)sin x区分f(x)与f(x0)3复合函数的求导,要分清复合的层次考点二导数的几何意义及应用挖掘1利用导数几何意义求切点、斜率、切线/ 互动探究例1(1)(2018
7、高考全国卷)设函数(x)x3(a1)x2ax,若(x)为奇函数,则曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析法一:(x)x3(a1)x2ax,(x)3x22(a1)xa.又(x)为奇函数,(x)(x)恒成立,即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立,a1,(x)3x21,(0)1,曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.法二:(x)x3(a1)x2ax为奇函数,(x)3x22(a1)xa为偶函数,a1,即(x)3x21,(0)1,曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.答案D(2)(2019高考全国卷)曲线y3(x2x)e
8、x在点(0,0)处的切线方程为_解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3),斜率ke033,切线方程为y3x.答案y3x(3)若直线l与曲线C满足下列两个条件:()直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;()曲线C在点P附近位于直线l的两侧则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号):直线l:y0在点P(0,0)处“切过”曲线C:yx3;直线l:x1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y(x1)2直线l:yx在点P(0,0)处“切过”曲线C:ysin x;直线l:yx在点P(0,0)处“切过”曲线C:ytan x;直线l:yx1在点P(1,0)
9、处“切过”曲线C:yln x.解析对于,由yx3,得y3x2,则y|x00,直线y0是过点P(0,0)的曲线C的切线,又当x0时,y0,当x0时,y0,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线y0两侧,命题正确;对于,由y(x1)2,得y2(x1),则y|x10,而直线l:x1斜率不存在,在点P(1,0)处不与曲线C相切,命题错误;对于,由ysin x,得ycos x,则y|x01,直线ysin x是过点P(0,0)的曲线C的切线,又x(,0)时,xsin x,x(0,)时,xsin x,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线yx两侧,命题正确;对于,由ytan x,得y,则y|x01,直线yx是过
10、点P(0,0)的曲线的切线,又x(,0)时,tan xx,x(0,)时,tan xx,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线yx两侧,命题正确;对于,由yln x,得y,则y|x11,曲线在P(1,0)处的切线为yx1,设g(x)x1ln x,得g(x)1,当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,)时,g(x)0,g(x)在(0,)上的极小值也是最小值为g(1)0,直线yx1恒在曲线yln x的上方,不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧,命题错误,故答案为.答案破题技法求曲线的切线方程,注意已知点是否为切点,其关键点为:(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为yy0f(x0)(xx0)(
11、2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P(x1,f(x1);第二步:写出过P(x1,f(x1)的切线方程,为yf(x1)f(x1)(xx1);第三步:将点P(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0,y0)的切线方程挖掘2根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究例2(1)(2019高考全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1,ae)处的切线方程为y2xb,则()Aae,b1Bae,b1Cae1,b1 Dae1,b1解析yaexln x1,ky|x1ae1,切线方程为yae(ae1)(
12、x1),即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb,即ae1,b1.故选D.答案D(2)(2018高考全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2,则a_解析y(axa1)ex,当x0时,ya1,a12,得a3.答案3(3)若曲线C1:yx2与曲线C2:y(a0)存在公共切线,则a的取值范围为()A(0,1) B(1,C,2 D,)解析易知曲线yx2在点(m,m2)处的切线斜率为2m,曲线y在点(n,)处的切线的斜率为,故2m,由斜率公式得2m,即m2n2,则4n4有解,即y4x4,y的图像有交点即可,两图像相切时有a,所以a,故选D.答案D破题技法有关切线问题求参数对于此类问题,首先明确参数存在何处其关键点为:(1)利用切点,求f(x0),利用斜率建立关系kf(x0)(2)利用切点的双重性,既在切线上又在曲线上建立关系(3)联立方程组求解