1、第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页基础梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处导数的定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1
2、f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)1求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(xn)nxn1中，n0且nQ*.，要满足“”前后各代数式有意义，且导数都存在2(1)f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)
3、的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.(2)f(x)是一个函数，与f(x0)不同3(1)“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点 四基自测1(基础点：求导数值)若f(x)xex，则f(1)等于()A0BeC2e De2答案：C2(易错点：导数的运算)已知f(x)xln x，则f(x)()A. Bx1C.x Dln x1答案：D3(基
4、础点：求切线)函数f(x)x3在(0，0)处的切线为()A不存在 Bx0Cy0 Dyx答案：C4(易错点：求切点)曲线yex过点(0，0)的切线的斜率为_答案：e授课提示：对应学生用书第38页考点一导数的计算挖掘1求导函数值/ 自主练透例1(1)设函数f(x)1ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f(x0)_解析令1ex00，x00，而f(x)ex，f(x0)f(0)e01.答案1(2)若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_解析f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得f(1)2，f(1)1438.答案8(3)若f(x)sin，则f_解析f(x)sin，f(x)
5、cos，fcos.答案挖掘2已知导数值求自变量/ 互动探究例2(1)已知函数f(x)x(2 020ln x)且f(x0)2 021，则x0()Ae2B1Cln 2 De解析f(x)x(2 020ln x)2 020xxln x，f(x)2 020ln xx2 021ln x，又f(x0)2 021，ln x00，x01.答案B(2)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，若f(x0)0，则x0_解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.f(x0)2，20，x0.答案破题技法1.求导之前，应利用
6、代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导2求导公式或求导法则中，要注意“”“”的变化，如(cos x)sin x区分f(x)与f(x0)3复合函数的求导，要分清复合的层次考点二导数的几何意义及应用挖掘1利用导数几何意义求切点、斜率、切线/ 互动探究例1(1)(2018
7、高考全国卷)设函数(x)x3(a1)x2ax，若(x)为奇函数，则曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析法一：(x)x3(a1)x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)为奇函数，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.法二：(x)x3(a1)x2ax为奇函数，(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即(x)3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.答案D(2)(2019高考全国卷)曲线y3(x2x)e
8、x在点(0，0)处的切线方程为_解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.答案y3x(3)若直线l与曲线C满足下列两个条件：()直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；()曲线C在点P附近位于直线l的两侧则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)：直线l：y0在点P(0，0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y(x1)2直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1在点P(1，0)
9、处“切过”曲线C：yln x.解析对于，由yx3，得y3x2，则y|x00，直线y0是过点P(0，0)的曲线C的切线，又当x0时，y0，当x0时，y0，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y0两侧，命题正确；对于，由y(x1)2，得y2(x1)，则y|x10，而直线l：x1斜率不存在，在点P(1，0)处不与曲线C相切，命题错误；对于，由ysin x，得ycos x，则y|x01，直线ysin x是过点P(0，0)的曲线C的切线，又x(，0)时，xsin x，x(0，)时，xsin x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线yx两侧，命题正确；对于，由ytan x，得y，则y|x01，直线yx是过
10、点P(0，0)的曲线的切线，又x(，0)时，tan xx，x(0，)时，tan xx，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线yx两侧，命题正确；对于，由yln x，得y，则y|x11，曲线在P(1，0)处的切线为yx1，设g(x)x1ln x，得g(x)1，当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，g(x)在(0，)上的极小值也是最小值为g(1)0，直线yx1恒在曲线yln x的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题错误，故答案为.答案破题技法求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(
11、2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程，为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程挖掘2根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究例2(1)(2019高考全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(
12、x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.答案D(2)(2018高考全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_解析y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，得a3.答案3(3)若曲线C1：yx2与曲线C2：y(a0)存在公共切线，则a的取值范围为()A(0，1) B(1，C，2 D，)解析易知曲线yx2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y在点(n，)处的切线的斜率为，故2m，由斜率公式得2m，即m2n2，则4n4有解，即y4x4，y的图像有交点即可，两图像相切时有a，所以a，故选D.答案D破题技法有关切线问题求参数对于此类问题，首先明确参数存在何处其关键点为：(1)利用切点，求f(x0)，利用斜率建立关系kf(x0)(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系(3)联立方程组求解