1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系目标定位1.理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线.2.会用反证法证明两条直线是异面直线，会求两异面直线所成的角.3.理解公理4和等角定理.自 主 预 习1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种.(1)若从公共点的数目分，可以分为只有一个公共点相交.没有公共点(2)若从平面的基本性质分，可以分为在同一平面内不同在任何一个平面内异面.2.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法3.平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：ac.4.等角
2、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角的取值范围：(0，90.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.即 时 自 测1.判断题(1)若两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)若两直线不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的直线：与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()提示(1)空间两直线无公共点，则这两
3、条直线可能平行，也可能异面.(3)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线.2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.答案D3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A.全等 B.不相似C.仅有一个角相等 D.相似解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故应选D.答案D4.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F
4、、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_.解析取A1B1的中点M，连接GM、HM，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，所以GMH为正三角形，MGH为EF与GH所成的角，所以MGH60.答案60类型一空间两条直线位置关系的判断【例1】 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_.解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以应该填“
5、相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，且B1A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以都应该填“异面”.答案平行异面相交异面规律方法1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.【训练1】 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.ac B.a、c是异
6、面直线C.a、c相交 D.a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.(2)若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.答案(1)D(2)C类型二公理4、等角定理的应用【例2】 在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)EA1FE1CF1.证明(1)连接BD，B1D1，在AB
7、D中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF綉BD.同理，E1F1綉B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，因此，BD綉B1D1，又EF綉BD，E1F1綉B1D1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BMCF1.因为A1MA1B1，BEAB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BMA1E.因此，CF1A1E，同理可证A1FCE1.因为EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且
8、方向都相反，所以EA1FE1CF1.规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.【训练2】 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EH
9、FG.故E，F，G，H四点共面.(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.类型三求异面直线所成的角(互动探究)【例3】 如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小.思路探究探究点一异面直线所成的角的范围是多少？提示(0，90探究点二求异面直线所成的角分哪三步？三角形的中位线有什么作用？提示求异面直线所成的角分三步：作，证，求.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础.解如图，取BD的中点M，连接EM、F
10、M.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綉AD，FM綉BC，则EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角.ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60.规律方法1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2
11、)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.【训练3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_；(2)AC和D1C1所成的角是_；(3)AC和B1D1所成的角是_；(4)AC和A1B所成的角是_.解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90.(2)D1C1DC，所以ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD45.(3)BDB1D1，BDAC，B1D1AC，即AC和B1D1所成的角是90.(4)A1BD1C，ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60.答案(1)90(2
12、)45(3)90(4)60课堂小结1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为，且090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1D
13、D1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.答案B2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.答案A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_.解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1.答案4.已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证
14、：BFED1.证明如图，取棱BB1的中点G，连接GC1，GE.F为棱CC1的中点，BGC1F，且BGC1F，四边形BGC1F为平行四边形，BFGC1，且BFGC1.同理，可得EGA1B1，且EGA1B1，又A1B1C1D1，且A1B1C1D1，EGC1D1，且EGC1D1，四边形EGC1D1为平行四边形.ED1GC1.BFED1.基 础 过 关1.a、b为异面直线是指ab，且a不平行于b；a平面，b平面，且ab；a平面，b平面，且；不存在平面能使a，且b成立.()A. B. C. D.解析中的a，b有可能平行，符合异面直线的定义.答案D2.下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并
15、且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析易知选项A，B中PQRS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案C3.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE，B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直
16、线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误.综上所述，故选C.答案C4.若ABAB，ACAC，则下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.一定成立的是_(填序号).解析ABAB，ACAC，ACBACB或ACBACB180.答案5.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形.解析由图易证：EF綊AC綊HG，四边形EFGH为平行四边形，故当EFFG，即ACBD时
17、，四边形EFGH为菱形；EFFG且EFFG，即ACBD且ACBD时，四边形EFGH为正方形.答案ACBDACBD且ACBD6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角.解如图，连接BD、A1D，ABCDA1B1C1D1是正方体，DD1綉BB1，四边形DBB1D1为平行四边形，BDB1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，A1BD是正三角形，A1BD60.A1BD是锐角，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，A1B与B1D1所成的角为60.7.如图所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，
18、ACAC，BCBC；(2)求的值.(1)证明AABBO，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和AB、AC和AC方向相反，BACBAC，同理ABCABC，ABCABC且，.能 力 提 升8.在空间四边形ABCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为30，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()A.15 B.30 C.75 D.15或75解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉AB，FG綉CD，EGF是AB和CD所成角或是其补角，GEF是EF与AB所成的角.ABCD，EGGF.当EGF30时，AB和EF所成角G
19、EF75，当EGF150时，AB和EF所成角GEF15.答案D9.如图所示，已知三棱锥ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是()A.MN(ACBD) B.MN(ACBD)C.MN(ACBD) D.MN(ACBD)解析如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则MEAC，NEBD，所以MEEN(ACBD).在MNE中，有MENEMN，所以MN(ACBD).答案D10.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的是_(填序号).解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB
20、EF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.答案11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.探 究 创 新12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.解如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.又E是AA1的中点，EFA1B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1是平行四边形.A1BCD1，EFCD1.E，F，C，D1四点共面.E平面ABB1A1，E平面D1CE，F平面ABB1A1，F平面D1CE，平面ABB1A1平面D1CEEF.过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
