1、12 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件12.2 充要条件内 容 标 准学 科 素 养1.理解充分、必要、充要条件的意义2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性3.掌握证明充要条件的一般方法.利用数学抽象提高逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 充分条件、必要条件与充要条件阅读教材P912,思考并完成以下问题对于“若 p,则 q”形式的命题,有的命题是真命题,有的命题是假命题,那么命题的条件和结论有什么关系呢?判断下列两个命题的真假:(1)若 xa2b2,则 x2ab;(2)若 ab0,则 a0.提示:命
2、题(1)为真命题,命题(2)为假命题也就是对于命题(1),由条件 xa2b2可以推出结论 x2ab.对于命题(2),由条件 ab0 推不出结论 a0.知识梳理(1)充分条件与必要条件命题真假“若 p,则 q”是真命题“若 p,则 q”是假命题推出关系p qp q条件关系p 是 q 的条件q 是 p 的条件p 不是 q 的条件q 不是 p 的条件充分必要充分 必要(2)充要条件的概念一般地,如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.此时,我们说 p 是 q 的条件,简称条件概括地说,如果 pq,那么 p 与 q条件充分必要充要互为充要自我检测1下列各条件中,p 是 q 的充要条件的是()Ap:a
3、b,q:1a1bBp:xy0,q:xy0Cp:直线 axy10 与 xay20 平行,q:a1Dp:m0,q:关于 x 的方程 x22xm0 没有实数根答案:B2用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)若 p:x3,q:x29,则 p 是 q 的_,q 是 p 的_(2)若 p:2,q:cos 0,则 p 是 q 的_,q 是 p 的_(3)若 p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则 p 是 q 的_,q 是p 的_答案:(1)充分条件 必要条件(2)充分条件 必要条件(3)必要条件 充分条件探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断阅读教材 P911例 1、例 2、例 3题型:充分条
4、件、必要条件及充要条件的判断方法步骤:利用“若 p,则 q”为真命题或由 pq 时,p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p的必要条件利用“若 p,则 q”是假命题或 pq,则 p 是 q 的不充分条件,q 是 p 的不必要条件利用“若 p,则 q”的逆命题是真命题或 qp,则 q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件“若 p,则 q”为真命题,它的逆命题也为真命题或 pq,且 qp,则 p 是 q 的充要条件例 1 指出下列各题中,p 是 q 的什么条件:(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)(1)p:0 x2,q:x0,a1)在2,2上的最
5、大值等于 4,q:a2;(3)p:x3,12x,x 成等比数列,q:x4;(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;(5)p:mn,q:mn1.解析(1)当 0 x2 时,显然满足 x3,因此 pq;但当 x3 时,不一定有 0 x0,a1)在2,2上的最大值等于 4,当 a1 时,得 a24,所以a2,当 0a0,a1)在2,2上的最大值等于 4,可得 a2 或 a12,即q;但当 a2 时,函数 f(x)ax(a 0,a1)在2,2上的最大值等于 4,即 qp,故 p 是 q 的必要不充分条件(3)由 x3,12x,x 成等比数列可得12x 2(x3)x,解得 x4 或 x0,但当
6、 x0 时12xx0,不符合题意,舍去,即 x 的值等于 4,即 pq;当 x4 时,显然 x3,12x,x 成等比数列,即 qp,故 p 是 q 的充要条件(4)四边形的四条边相等,不一定得出该四边形为正方形,即 pq;但当四边形是正方形时,其四条边一定相等,即 qp,故 p 是 q 的必要不充分条件(5)当 mn 时不一定有mn1,例如 m2,n1,即 pq;当mn1 时,也不一定有 mb”是“ac2bc2”的充分不必要条件;直线 l1:axy3,l2:xbyc0,则“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件;“m6”是“yx2mxm3 有两个不同零点”的充要条件正确的结论是_解析:中,当
7、a2 时有(a1)(a2)0,但(a1)(a2)0 时a1 或 a2,不一定有 a2,“a2 是(a1)(a2)0”的充分不必要条件,正确中 abac2bc2,但 ac2bc2ab“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件,错误中 ab1 且 ac3 时,l1 与 l2 重合,但 l1l2 时 ab1,“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件,正确中 yx2mxm3 有两个不同零点0,即 m24(m3)0,m6,“m6”是“函数 yx2mxm3 有两个不同零点”的充要条件,正确答案:探究二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围教材 P13习题 1.2B 组 1 题已知 Ax|x 满足条件 p
8、,Bx|x 满足条件 q(1)如果 AB,那么 p 是 q 的什么条件?(2)如果 BA,那么 p 是 q 的什么条件?(3)如果 AB,那么 p 是 q 的什么条件?解析:(1)p 是 q 的充分条件(2)p 是 q 的必要条件(3)p 是 q 的充要条件例 2 是否存在实数 p,使 4xp0 的充分条件?如果存在,求出 p的取值范围;否则,说明理由解析 由 x2x20 解得 x2 或 x2 或 x1由 4xp0,得 Bxxp4.当 BA 时,即p41,即 p4,此时 x0,当 p4 时,4xp0 的充分条件方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合 Mx|p(x
9、),Nx|q(x);(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系:条件类别集合 M 与 N 的关系p 是 q 的充分不必要条件M Np 是 q 的必要不充分条件M Np 是 q 的充要条件MNp 是 q 的充分条件MNp 是 q 的必要条件MN(3)根据集合 M 与 N 的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围跟踪探究 3.已知 Mx|(xa)21,Nx|x25x240,若 M 是 N 的充分条件,求 a 的取值范围解析:由(xa)21 得 x22ax(a1)(a1)0,a1xa1.又由 x25x240 得3x8.M 是 N 的充分条件,MN,a13,
10、a18,解得2a7.故 a 的取值范围是2,7探究三 充要条件的证明阅读教材 P11例 4 及解答已知:O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d.求证:dr 是直线 l 与O 相切的充要条件题型:充要性的证明方法步骤:充分性的证明,由 dr 得出直线 l 与圆 O 只有一个公共点,因此 l 与圆O 相切必要性的证明,由 l 与圆 O 相切,得出圆心到直线的距离 dr.例 3 求证:一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.证明 充分性(由 ac0 推证方程有一正根和一负根),ac0,原方程一定有两不等实根,不妨设为 x1,x2,则 x1x2ca0,原方程的
11、两根异号,即一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证 ac0),一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根,不妨设为 x1,x2,由根与系数的关系得 x1x2ca0,即 ac0,满足原方程有两个不等实根综上可知,一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0”的_条件易错分析 判断两个命题之间的条件关系要从两个方向判断,判断一个方向就下结论,忽视了对“ab0”成立时能否导出“向量 a 与向量 b 的夹角 为锐角”的判断考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正 若向量 a 与向量 b 的夹角 为锐角,则 cos ab|a|b|0,即
12、 ab0,故 p 是q 的充分条件ab0 时,由 cos ab|a|b|0 可得 0,2当 0 时,a 与 b 夹角 不是锐角,故 p 是 q 的充分不必要条件答案:充分不必要条件2对问题的设问形式理解不清致误使不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件是()Ax0Bx2 或 x0Cx1,3,5Dx3 或 x12易错分析 没有弄清题中的条件和结论分别是哪个,从而充分性和必要性判断颠倒,考查逻辑推理的学科素养自我纠正 依题意,所选选项应是不等式 2x25x30 成立的充分不必要条件由于不等式 2x25x30 的解集为xx3或x12,正确的选项中变量 x 的取值范围应该比xx3或x12对应的范围要小一些,而1,3,5xx3或x12,故选 C.答案:C04 课时 跟踪训练