1、第一节函数及其表示最新考纲考情分析核心素养1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍将是2021年高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1.数学抽象2.数学运算3.直观想象知识梳理函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
2、，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集常用结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数
3、虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，则对应关系f是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案
4、：B3(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1Dy1答案：B三、易错自纠4(2019届深圳模拟)函数y的定义域为()A(2，1)B2，1C(0，1)D(0，1解析：选C由题意得解得0x1，故选C5设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_解析：若a0，则12，得a1；若a0，则12，得a1.答案：16(2019届江南十校联考)已知fx25x，则f(x)_解析：令t，x.f(t).f(x).答案：|题组突破|1(2019届河南豫北名校联盟联考)函数f(x)的定义域为()A(1，0)(0，1B(1，1C(4，1D(4，0)(0，1解析：选A要使函数
5、f(x)有意义，则解得1x1且x0，所以函数f(x)的定义域为(1，0)(0，1，故选A2(2019届贵州遵义航天高级中学月考)若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)的定义域是_解析：令t2x，则由函数yf(x)的定义域是0，2，可知f(t)中0t2.故要使函数f(2x)有意义，则02x2，解得0x1，所以函数f(2x)的定义域为0，1所以函数g(x)有意义的条件是解得0x0在R上恒成立，当a0时，x10不满足，故即a.答案：名师点津1根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，
6、得出不等式(组)的解集即可2求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域【例1】(1)若f1，则f(x)_.(2)若f(x)为有理函数，且f(x1)f(x1)2x24x，则f(x)_(3)已知f(x)2fx1，则f(x)_解析(1)解法一(配凑法)：f1，f(x)x(x2)，即f(x)x22x(x1)解法二(换元法)：设1t，则x(t1)，f(t)1(t1)21t22t(t1)，f(x)x22x(x1)(2)(待定系数法)f(x1
7、)，f(x1)与f(x)有相同的次数，且f(x1)f(x1)2x24x，f(x)为有理函数，f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)f(x1)2ax22bx2(ac)2x24x，解得f(x)x22x1.(3)(方程组法)用代替x，得到f2f(x)1.又f(x)2fx1，2得，3f(x)x1，f(x).答案(1)x22x(x1)(2)x22x1(3)名师点津|跟踪训练|1(2019届定州模拟)下列函数中，满足f(x2)f(x)2的是()Af(x)ln xBf(x)|x1|Cf(x)x3Df(x)ex解析
8、：选C对于函数f(x)x3，有f(x2)(x2)3x6，f(x)2(x3)2x6，所以f(x2)f(x)2，故选C2定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析：若1x0，则0x11，故f(x1)(x1)(1x1)x(x1)因为f(x1)2f(x)，所以f(x). 答案：高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题命题角度一分段函数求值问题【例2】(2020届成都摸底)已知函数f(x)则f(2)f(1)()
9、ABCD解析由题意得f(2)f(1)sin2(211)sin33，故选C答案C名师点津分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验命题角度二分段函数的自变量求值问题【例3】(2019届山西太原三中模拟)设函数f(x)若f(m)3，则实数m的值为()A2B8C1D2解析讨论m的范围，分段代入求值当m2时，m213，m2或m2(舍)；当0m2时，log2m3，m8(舍)m2.故选D答案D名师点津
10、分段函数的自变量求值问题常用分类讨论思想，讨论自变量与分段函数各段的定义区间的关系命题角度三分段函数与不等式问题【例4】(2019届湖北四地七校联考)已知函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)0，1)B(3，0)C(3，1)D(，3)(1，)解析因为f(a)1，所以或得3a0或0a1.所以实数a的取值范围是(3，1)，故选C答案C名师点津解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论|跟踪训练|3若f(x)是奇函数，则fg(2)的值为()ABC1D1解析：选Cf(x)是奇函数，当x3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，ff(1)f(3)326a，若ff(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a0，x0D，使得0|f(x0)c|0，不会存在xZ，满足0|x1|；对于f(x)2x1(xZ)，|f(x)1|2x，那么02xlog满足题意；对于f(x)log2x，|f(x)1|log2|，存在x21满足题意；对于f(x)1x1，|f(x)1|x1，存在x满足题意综上可知，是“1敛函数”故选D
