1、高考资源网（） 您身边的高考专家第八节曲线与方程最新考纲考情分析核心素养了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.主要考查轨迹方程的求法，多在解答题中考查.1.数学建模2.数学运算知识梳理1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)
2、，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y与xy2表示同一曲线()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修21P37
3、A2改编)已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左支C一条射线D双曲线右支答案：C3(选修21P37A1改编)已知A(2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_答案：(x2)2y24(y0)三、易错自纠4已知M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)解析：选DMN的中点为原点O，易知|OP|MN|2，P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2y24
4、(x2)，故选D5设定点F1(0，3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是_解析：a2 6(a0)，当且仅当a3时，取等号，当a3时，a6，此时|PF1|PF2|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2；当a3，a0时，|PF1|PF2|F1F2|，由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆答案：椭圆或线段F1F2|题组突破|1已知点F(0，1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24x解析：选A设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即
5、2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.2在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为_解析：因为点B与点A(1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)答案：x23y24(x1)3已知ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_解析：设A(x，y)，由题意可知，D.|CD|3，9，即(x10)2y236，由于A，B，C三点不共线
6、，点A不能落在x轴上，即y0，点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)名师点津利用直接法求轨迹方程的方法及注意点(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简(2)运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略【例1】已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C求曲线C的方程解由已知得，圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N
7、(1，0)，半径r23.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)|变式探究|1将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为_解析：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|
8、PM|2，又|MN|2，所以点P的轨迹方程为y0(x2)答案：y0(x2)2把本例中圆M的方程换为(x3)2y21，圆N的方程换为(x3)2y21，则圆心P的轨迹方程为_解析：由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|1R，|PN|R1，故|PM|PN|(1R)(R1)21)答案：x21(x1)3在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x1相切，则圆心P的轨迹方程为_解析：由于点P到定点N(1，0)和定直线x1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y24x.答案：y24x名师点津定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆
9、锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解【例2】(2019届安阳调研)如图所示，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为椭圆C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解设点M的坐标为(x，y)，由椭圆C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)，设点A的坐标为(x0，y0)，由两曲线的对称性，得B(x0，y0)，则直线AA1的方程为y(x3)，直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0，故x216y与M的轨迹有交点，满足题意- 6 - 版权所有高考资源网
