1、学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若点P(2,0)到双曲线1的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为()A.BC2D2【解析】双曲线的渐近线方程为bxay0，点P(2,0)到渐近线的距离为，所以a2b2，所以双曲线的离心率为，故选A.【答案】A2(2015四川高考)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A.B2C6D4【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将xc2代入渐近线方程yx得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标
2、分别为(2,2)，(2，2)，所以|AB|4.【答案】D3(2015安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21By21C.x21Dy21【解析】由双曲线的性质利用排除法求解由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y2x，故选C.【答案】C4(2015湖北高考)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【解析】分别表示出e1和e2
3、，利用作差法比较大小由题意e1；双曲线C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率e2.因为，且a0，b0，m0，ab，所以当ab时，0，即.又0，0，所以由不等式的性质依次可得22,1212，所以，即e2e1；同理，当ab时，0，可推得e2e1.综上，当ab时，e1e2；当ab时，e1e2.【答案】D5设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.BC.D【解析】设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1，即b2ac，又c2a2b2
4、，所以c2a2ac，两边同除以a2，整理得e2e10，解得e或e(舍去)【答案】D二、填空题6过双曲线1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|NF2|MN|的值为_【解析】|MF2|NF2|MN|MF2|NF2|(|MF1|NF1|)(|MF2|MF1|)(|NF2|NF1|)2a2a4a8.【答案】87(2015湖南高考)设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算不妨设F(c,0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c,2b)又点P在
5、双曲线上，则1，故5，即e.【答案】8若双曲线x2y21右支上一点P(a，b)到直线yx的距离为，则ab_.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以ab0.又，ab，又a2b21，ab.【答案】三、解答题9已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小【解】(1)由16x29y2144得1，所以a3，b4，c5，所以焦点坐标F1(5,0)，F2(5,0)，离心率e，渐近线方程为yx.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|6，
6、cos F1PF20，F1PF290.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积【解】(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M点在双曲
7、线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.能力提升1(2016大连双基考试)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足0，|3，|4，则双曲线C的离心率为()A.BC.D5【解析】由双曲线的定义可得2a|1，所以a；因为0，所以，所以(2c)2|2|225，解得c.所以此双曲线的离心率为e5.故D正确【答案】D2(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1B1C.1D1【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一
8、个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2.由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得.由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.【答案】D3双曲线1，1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为_【解析】由已知得e1，e2，则e1e2()22.【答案】24已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|3|PF2|，0，求双曲线的标准方程【解】|PF1|PF2|2a，|PF1|3|PF2|，|PF1|3a，|PF2|a.又，2c220，c210.又|PF2|a，22a2.a24，b2c2a26.故所求双曲线的标准方程为1.
