1、探秘基本初等函数的命题热点动向 微点聚焦突破以二次函数、幂函数、指数与对数函数为载体考查函数图象与性质，灵活利用图象、性质解决与方程(不等式)的交汇融合问题，相关参数求解与讨论一直是命题的热点，常以客观题的形式呈现，考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理数学核心素养.类型一基本初等函数图象的辨析角度1特殊值与性质检验法【例11】 (1)函数f(x)x2的大致图象是()(2)(2019福州质检)函数f(x)x2ln(ex)ln(ex)的大致图象为()解析(1)由f(0)1，知图象过点(0，1)，排除D项.又f(2)440，f(4)16160，f(x)的图象过点(2，0)，(4，0)，排除A，C，只
2、有B适合.(2)易知f(x)(x)2ln(ex)ln(ex)x2ln(ex)ln(ex)f(x)，yf(x)的图象关于y轴对称，排除C项.又当xe时，f(x)，排除选项B，D.答案(1)B(2)A思维升华1.求解该类问题抓住两点：(1)根据函数的奇偶性、周期性、单调性排除不符合的选项.(2)利用特殊值(点)或极限的思想，排除不可能选项.2.注意两点：(1)特殊点或特殊值要具备特殊性和代表性，只能否定错误的结论.(2)紧扣图象特征，揭示函数的性质.【训练1】 (2020东北四校联考)函数f(x)的图象大致是()解析因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除A.易知
3、函数f(x)的定义域为，f(x)，当x时，f(x)0，可排除C.当x时，f(x)，可排除D.答案B角度2函数的图象变换法【例12】 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x1)，则函数f(x)在(1，1上的图象可能是()解析由f(x)f(x1)知，把f(x)在(1，0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴作对称变换，可以得到yf(x)在(0，1)上的图象.结合图象特征，A，B，D不满足，只有C符合.答案C思维升华1.通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、伸缩变换、翻折变换
4、.2.函数图象进行左右平移变换，一定是仅仅相对于“自变量x”而言的，一定把x的系数变为1.【训练2】 (2020武汉部分重点中学联考)已知函数ysin axb(a0)的图象，如图所示，则函数yloga(xb)的图象可能是()解析由ysin axb的图象知，周期T2，0b2，0a0，则下列关系式不可能成立的是()A. B.C.0，则x2k1，y3k1，z5k1，故2k1，3k1，5k1，若0k1时，f(x)xk1在(0，)上单调递减，则1时，则f(x)xk1在(0，)上单调递增，f(b)f(c) B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(a)f(b)解析由blog
5、log53，且ylog5x是增函数，1ab0，又c21，且f(x)x2在(0，)上是增函数，f(c)f(a)f(b).答案D角度2利用性质求函数值或范围【例22】 (1)(2020安徽名校联考)已知函数yg(x)满足g(x2)g(x)，若yf(x)在(2，0)(0，2)上为偶函数，且其解析式为f(x)则g(2 021)的值为()A.1 B.0 C. D.(2)(2020石家庄调研)已知函数f(x)2xlog3，若不等式f3成立，则实数m的取值范围是()A.(1，) B.(，1)C. D.解析(1)由g(x2)g(x)，得g(x4)g(x)，4是函数g(x)的周期.则g(2 021)g(5054
6、1)g(1).又f(x)在(2，0)(0，2)上是偶函数，g(1)f(1)f(1)log210.(2)由0，得f(x)的定义域为(2，2).ylog3log3在(2，2)上单调递增，f(x)在(2，2)上是增函数.又f(1)3，f3ff(1).解得mf(x)的x的取值范围是()A.(，1)(2，)B.(，)(，)C.(，)(2，)D.(，1)(，)解析当x0时，f(x)2x2x是增函数；当x0时，f(x)0.由f(x22)f(x)，或解得x2或x0，又f(0)0，从而作出tf(x)的简图，如图所示.令tf(x)，g(t)t2mtm1.由g(t)0，得t1或t1m.当t1时，f(x)1，方程有一
7、解.要使原方程有3个不同的实数解，必须t1m与tf(x)的图象有两个交点.故01m，所以1m1.答案C思维升华1.题目以函数的图象、性质为载体，考查函数零点(方程的根)中参数的求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.2.涉及复合函数零点的步骤：换元，令tf(x)，yg(t)，f(x)为“内函数”，g(t)为“外函数”；作图，作“外函数”yg(t)的图象与“内函数”tf(x)的图象；观察图象进行分析.【训练5】 已知函数f(x)若f(x)m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是_.解析作出函数f(x)的图象如图所示，不妨设abcd，则log2alog2b，ab1.又根
8、据二次函数的对称性，可知cd7，cdc(7c)7cc2c27c(2c3)，10cd12，abcd的取值范围是(10，12).答案(10，12)分层限时训练A级基础巩固一、选择题1.(2020重庆一中月考)函数f(x)sin xln |x|的图象大致是()解析易知f(x)的定义域为(，0)(0，)，且f(x)f(x)，函数为奇函数，yf(x)的图象关于原点对称，排除选项B，C，当x时，1sin x1，ln |x|，因此f(x)的单调性增减交替出现，D不正确.答案A2.已知函数f(x)x2(2a1)xb是偶函数，那么函数g(x)的定义域为()A. B.C.(0，2 D.2，)解析f(x)是偶函数，
9、则2a10，a.若g(x)有意义，则logax10，即logx1.0b，则()A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b|解析法一不妨设a1，b2，则ab，可验证A，B，D错误，只有C正确.法二由ab，得ab0.但ab1不一定成立，则ln(ab)0不一定成立，故A不一定成立.因为y3x在R上是增函数，当ab时，3a3b，故B不成立.因为yx3在R上是增函数，当ab时，a3b3，即a3b30，故C成立.因为当a3，b6时，ab，但|a|b|，D项不正确.答案C4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，当x0，1时，f(x)4x22x，则当x3，3时，方程2f(x)1的解的个数为(
10、)A.3 B.4 C.6 D.8解析f(x)在R上为奇函数，知f(x)的图象关于原点对称.又f(1x)f(1x)，yf(x)的图象关于直线x1对称.由题设，作出函数yf(x)的大致图象(如图).yf(x)，x3，3的图象与直线y有三个交点.故方程2f(x)1有3个解.答案A5.已知函数f(x)(exex)ln 1，若f(a)1，则f(a)()A.1 B.1 C.3 D.3解析设g(x)f(x)1(exex)ln .易知g(x)(exex)ln g(x).由f(a)1，得g(a)2.g(a)2，从而f(a)g(a)13.答案D6.函数f(x)xa满足f(2)4，那么函数g(x)|loga(x1)
11、|的图象大致为()解析由函数f(x)xa满足f(2)4，知2a4，所以a2，f(x)x2，则g(x)|log2(x1)|，将函数h(x)log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方的图象折上去，即可知选C.答案C7.已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A.a0，b0，c0 B.a0C.2a2c D.2a2c2解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c0.又因为x时，f(x)0，所
12、以2m0m0时，f(x)，所以f(x)在(0，)上单调递增，(，)上单调递减，所以1m1，综上，实数m的取值范围是(1，2).答案D二、填空题9.已知函数f(x)若f(2a)1，则f(a)_.解析当2a0时，f(2a)log2(1a)1.解得a，不合题意.当2a2，即a0时，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.答案210.若函数f(x)loga(x0，a0且a1)的值域为R，则实数a的取值范围是_.解析设g(x)x4(x0)，又函数f(x)loga(a0且a1)的值域为R，x40必有解，故函数g(x)的最小值必须要小于等于零，又g(x)24，当且仅当x时，
13、等号成立.要满足题意，需240，解得a4.故实数a的取值范围是(0，1)(1，4.答案(0，1)(1，411.(2020郑州质量预测)已知函数f(x)若不等式f(x)5mx恒成立，则实数m的取值范围是_.解析如图，在同一平面直角坐标系内作出yf(x)和ymx5的图象，直线y5mx过定点A(0，5)，当直线ymx5位于平行于x轴的位置和直线AB之间时，满足不等式f(x)5mx恒成立，所以m0，解得0m.答案12.(2020南昌调研)若对任意的t1，2，函数f(x)t2x2(t1)xa总有零点，则实数a的取值范围是_.解析由题意得(t1)24at20对t1，2恒成立，所以4at2(t1)2对t1，
14、2恒成立，则a对t1，2恒成立，设y，则yba B.bacC.cab D.bca解析f(x)1，f(x)在(，0)，(0，)上为减函数，易知x0时，f(x)0时，f(x)0，又ln 20，0，ln 0，a0，cln 3，ln ，f(x)在(，0)上单调递减，fa，bca.答案D14.已知函数f(x)则函数yf(ex)的大致图象是()解析令g(x)f(ex)，则g(x)即g(x)因此g(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，排除A，C；又ee0ln(e0)1，排除D，因而B项成立.答案B15.若函数f(x)有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(4，0) B.(，0C.(4，0 D
15、.(，0)解析x0时，x1为f(x)的零点，x0时，x0为f(x)的零点，故x0时，f(x)不能再有其它零点，即方程kx2(x0)无解，等价于kx(x0)无解.作出y(x0)，ykx(x0时，ykx与y相交.k0时，ykx与y不相交.此时f(x)仅有两个零点x0与x1.答案B16.(2018全国卷改编)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_.解析依题意，g(x)f(x)xa0有两个实根，关于x的方程f(x)xa有两个实根.作出f(x)与yxa的图象.根据图象知，当a1时，即a1时，两图象有两个交点.故实数a的取值范围是1，).答案1，)C级创新猜想17
16、.(多选题)(2020烟台调研)已知函数f(x)ln xln(4x)，则下列四个命题正确的是()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，4)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x2对称D.f(x)的图象上存在两点关于点(2，0)对称解析f(x)ln xln(4x)ln x(4x)ln4(x2)2，x(0，4).设z4(x2)2，x(0，4)，由于z4(x2)2在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，yln z在(0，)上单调递增.f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故A正确，B错误.又f(2x)ln(4x2)为偶函数，其图象关于x0对称，f(x)由f(x2)的图象向右平移两个单位得到，所以f(x)的图象关于x2对称，故C正确.由f(2x)f(2x)2ln(2x)2ln(2x)0，得x，f(x)的图象上存在两点(2，0)，(2，0)关于点(2，0)对称，D正确.故选ACD.答案ACD
