1、与利润及其成本有关的最值问题5(12 62)mxx x某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为【例】万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？112222(1)n1,256(1)(2)256256(1)(2)2256.25611()(512)2212nmnxmxyf xnnx xmmmx xm xmxxxmmfxmxxxx设需要新建 个桥墩，则
2、，即 所以 由知，=-+=【解析】32()0=51264064()0()0,6464640()0.()64,640()64640119,649fxxxxfxf xxfxf xf xxmnxy 令=，得，所以=当时，在区间内为减函数；当时，在区间内为增函数，所以在 米处取得最小值，此时，故需新建 个桥墩才能使 最小.利用导数解决科技、经济、生产和生活中的最值问题，是新课程高考要求考生必须掌握的内容在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实际意义在应用问题的设计上，高考多设置为单峰函数，以降低要求【变式练习1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价
3、格P(元/吨)之间的函数关系为P242001/5x2，且生产x吨该产品的成本为R50000200 x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)2321(24200)(50000200)512400050000(0)5324000 05200(200)xf xxxxxxxfxxxx每月生产 吨产品时的利润为由，得【析】舍去解因为f(x)在0，)内只有一个极值点x200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大值为 f(200)1/52003 24000200 500003150000(元)答：每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元效率最值问题
4、【例2】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处已知AB20 km，BC10 km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为y km.(1)设BAO(rad)，将y表示成的函数；(2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.10coscos1010 10tancos101010 10tancoscos20 10sin10(0)c41osPOABQPQABBAOradAQOAOBOPyOAOBOPy延长交于点，则由条件知垂直平分线段
5、若则故，又 所以 故所求函数关系式为【解析】22min10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)ycoscos1y0sin.0,.246(0)y0y6y10 10 3.6PAB10 3AB2km.3 令因为所以当时是 的单调增函数所以当时此时点 位于线段的中垂线上，在矩形区域内且距离边处，得，解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数本题求解的切入点在于根据图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法求出函数的最小值，便可确定点C的位置【变式练习2】如图，用宽为a、长为b的三块木板，做成
6、一个断面为梯形的水槽问斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？222221()?.22 cossin1(2 cos)sinsin(1cos)(0)22(2coscos1)01(2coscos1)0coscos1.210cos1cos22SSABED CDABaaCDaSaaaaaSaSa设横截面面积为，则 由于，因此 又 ，令 ，即 ，得 或由于，得，那么，【析此时】解30033S 因为当，所以，当 时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大几何模型的最优化问题【例3】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底
7、面边长的比值不超过常数t(t0)试问当x取何值时，容积V有最大值？232222(22)484.20022122(0122121644()(3)12V xxaxxaxa xxatxatxaxtatV xtataVxxaxaxaxat因为因为且，所以所以函数的定义域为，因为，且【】解析利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值【变式练习3】要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m3，问如何选择它
8、的直径和高，才能使所用材料最省？2222233233332000()500220002000()24220005005000022500500020205005002,ddhShhddddSd hSdddSdhddSdS 欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为，高为【解，表面积为，由，得 又，而 令 ，即，得，此时 因为时，；时，所以，当直径为高为用析】料最省1.质量为5 kg的物体运动的速度为v(18t3t2)m/s，在时间t2 s时所受外力为_N.【解析】因为v186t，所以v|t218626.所以，当t2时，物体所受外力F为6530(N)302.有一边长分别为8与5的长方形，在各角
9、剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为_.13.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是_.54 555RR和 222222222(0)2(2)2(2(0)2 55055xRxxRyxRxxyxRRxyxRRxR如图，设矩形的一边长为，则另一边长为 所以矩形的周长，所以 令 ，【得，此时解析】4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截才能使正方形与圆的面积之和最小？22(100).100()()(0100)24xcmx cmSxxSx设弯成圆的一段长为，则另一段长为记正方形与圆的面积之和为，则【解
10、析】，1(100)281000.40,10001004xSxSxSxcmcm故 令 ，得 由于在内函数 只有一个导数为 的点，而问题中面积之和的最小值显然存在，故当 时，正方形与圆的面积之和最小答：将铁丝截成两段，其中长度为的一段弯成圆，剩下的一段弯成正方形，就能使正方形和圆的面积之和最小5.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？240sin1140(0)5040t
11、an2tan1403(5040)5tansin53cos15040(0)sin2(53cos)sin(53cos)(sin)40sin35cos40(0sinBCDBCCDACffaaaafaa如图，设，则，所以 设总的水管费用为依题意，有所以【解析】)2 30cos53cos5413sin5tan41504020tan20 ffACkmADkm令，得根据问题的实际意义，当 时，函数取得最小值，此时，所以所以即供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省1利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域2在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点
12、(2010南通一模卷)某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处已知ABAC6 km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站记P到三个村庄的距离之和为y.(1)设PBO，把y表示成的函数关系式；(2)变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？643 2.0423 22sin2(3 23 2 tan)3 23 2coscos2sin3 23 2(0)c1os4Rt AOBABABOOBOAPABCyPBPAy在中，所以由题意知所以点 到、三点的距离之和为 故所求函数关系式为】【解析 2sin113 2.cos210sin.0.246000.6642sin3 23 26cos3tan2666yyyyyOPkmPOAOkmOkm 由得 令 ，得又，从而 当时，；当时，所以，当 时，取得最小值，此时，即点 在上距 点处答：变电站建于距 点处时，它到三个村庄的距离之和最小选题感悟：应用意识是高考明确要求的一种思维意识，利用导数知识解决最优化问题是高考应用题的首选本题综合解三角形、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决问题的能力
