1、模块综合提升 核 心 知 识 回 顾 一、柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积 圆柱S 侧 VSh 圆锥S 侧 V13Sh13r2h 圆台S 侧 V13(S 上S 下 S上S下)h 2rlr2hrl13r2 l2r2(r1r2)l13(r21r22r1r2)h直棱柱 S 侧 V 正棱锥 S 侧 V 正棱台 S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)h 球S 球面4R2V ChSh12Ch13Sh43R3二、空间中的线线、线面、面面关系1空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况(1)证明线线平行的方
2、法线线平行的定义；公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，b ；ab线面垂直的性质定理：a，b ；面面平行的性质定理：，a，b (2)证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；线面垂直的性质 1：a，b ；线面垂直的性质 2：a，b abababab2空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种(1)证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：a，b，a；平面与平面平行的性质：，a aba(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理 1：m
3、，n，lm，lnl；判定定理 2：ab，a ；面面平行的性质定理：，a ；面面垂直的性质定理：，l，a，a.mnAbaal3空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种(1)证明面面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：a，b，a，b，；线面垂直的性质定理：a，a ；公理 4 的推广：，.abA(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，.a三、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为，且 90，则斜率 k (2)公式法：已知直线过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x
4、2，则斜率 k_tan y2y1x2x12判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则 k1k2 (2)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都不存在，其倾斜角都为 90，则 l1l2.l1l23判断两直线垂直的方法(1)若直线 l1 与 l2 的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则 l1l2.(2)已知直线 l1 与 l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则 l1l2.k1k21四、直线方程1直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件 一般情况_(x0，y0)是直线上的一个定点，k 是斜率直线不垂直于x 轴点斜式斜
5、截式_k 是斜率，b 是直线在 y轴上的截距直线不垂直于x 轴 yy0k(xx0)ykxb一般情况yy1y2y1 xx1x2x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于 x轴和 y 轴 两点式截距式_a，b 分别是直线在 x轴，y 轴上的两个非零截距直线不垂直于 x轴和 y 轴，且不过原点 一般式AxByC0A，B 不同时为 0A，B，C 为系数任何情况xayb12.常见的直线系方程(1)经过两条直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中 是待定系数在这个方程中，无论 取什么实数，都不能得到 A
6、2xB2yC20，因此它不能表示直线 l2.(2)平行直线系方程：与直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)平行的直线系方程是 AxBy0(C).(3)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A，B 不同时为 0)垂直的直线系方程是 BxAy0.五、圆的方程(1)圆的标准方程：(2)圆的一般方程：(D2E24F0).(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：求两圆 C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(为参数，1)，该方程不包括圆 C2；
7、(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0过圆 C：x2y2DxEyF0 与直线 l：AxByC0 交点的圆系方程为 x2y2DxEyF(AxByC)0(为参数，R).六、直线与圆的位置关系1直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径长为 r.若 dr，则直线和圆相交；若 dr，则直线和圆相切；若 dr，则直线和圆相离(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为，0直线与圆相切；0直线与圆相交；0直线与圆相离2过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法当切线斜率存在时，设切线方程为 yy0k(xx0)，化成一般式
8、 kxyy0kx00，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出 k；当切线斜率存在时，设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程(xa)2(yb)2r2 联立，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式为 0，求出 k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程3圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解(2)利 用 圆 的 弦 长 公 式l 1k2|x1 x2|1k2（x1x2）24x1x2(其中 x1，x2 为两交点的横坐标).(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离 d、圆的半径 r 与弦长的一半l2为线段长
9、的三条线段构成直角三角形，故有 l 2 r2d24圆与圆的位置关系(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系(2)若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交则两圆方程相减后得到的新方程：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 表示的是两圆公共弦所在直线的方程易 错 易 混 辨 析 1有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()提示，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形2夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱()提示，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱3上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台()提示，圆
10、台的母线延长后交于一点4球的体积之比等于半径比的平方()提示，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方5台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()提示，根据台体与锥体之间的关系可知正确6圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.()提示，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为 r，则有 Sr2，从而圆柱侧面积为 4S.7两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于过 A 点的任意一条直线()提示，由公理 3 可知错误8两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()提示，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面9若直线 a 不平行于平面，
11、且 a，则 内的所有直线与 a 异面()提示，由条件知直线 a 与平面 相交，则平面内凡过交点的直线都与 a 相交10没有公共点的两条直线是异面直线()提示，没有公共点的两条直线可能平行或异面.11若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()提示，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误12若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()提示，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行13若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.()提示，若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a 或a.14若直线 a，P
12、，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条()提示，直线 a 与点 P 确定一个平面，若 b，则 ab.15如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()提示，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交16如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()提示，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.17直线 l 与平面 内无数条直线都垂直，则 l.()提示，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误18直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.()提示，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面
13、19若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则()提示，此直线不一定与平面 垂直，因此两平面不一定垂直.20若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()提示，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.21设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，若 mn，m，则 n.()提示，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直22确定圆的几何要素是圆心与半径()提示，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径23方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t的一个圆()提示，方程(xa)2(yb)2t2中当 t20 时才表示圆心为(a,
14、b)，半径为|t|的一个圆24若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()提示，若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则必有 x20y20Dx0Ey0F0 成立25过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2.()提示，过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2，这一结论需记住26如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()提示，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切27如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相
15、交()提示，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含28圆 C1：x2y22x2y20 与圆 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条()提示，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条29两平行直线 2xy10，4x2y10 间的距离是 0.()提示，只有当 x，y 对应项系数相等时才能用公式求距离高 考 真 题 感 悟 1在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C所成的角为 30，则该长方体的体积为()A8 B6 2C8 2D8 3C 连接 AC1，AC，BC1，因为 AB平面 BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以
16、ABC1 为直角三角形又 AB2，所以 BC12 3.又 B1C12，所以 BB1（2 3）2222 2，故该长方体的体积 V222 28 2.2设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 3B 设等边三角形 ABC 的边长为 x，则12x2sin 609 3，得 x6.设ABC 的外接圆半径为 r，则 2r6sin 60，解得 r2 3，所以球心到ABC 所在平面的距离 d 42（2 3）22，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1d46，所以三棱锥 D-AB
17、C 体积的最大值Vmax13SABC6139 3618 3.3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为()A 22B 32C 52D 72C 如图，连接 BE，AE.因为 ABCD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与AB 所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则 CE1，BC2，由勾股定理得 BE 5.又由AB平面 BCC1B1 可得 ABBE，所以 tan EABBEAB 52.故选 C.4已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45.若SA
18、B 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_40 2 如图，设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，母线 SA，SB的夹角为，由 cos 78，得 sin 158，由SAB 的面积为12l2sin 5 15，得 l4 5，又 SA 与圆锥底面所成角为 45，所以 r 22l2 10，所以该圆锥的侧面积为 rl2 104 540 2.8 由题意画出图形，如图，设 AC 是底面圆 O的直径，连接 SO，则 SO 是圆锥的高设圆锥的母线长为 l，则由 SASB，SAB 的面积为 8，得12l28，得 l4.在 RtASO 中，由题意知SAO30，所以 SO12l2，AO 32 l2 3.故该圆锥的体积 V13AO2SO13(2 3)228.5已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_2 2 由题意知圆的方程为 x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2，则圆心到直线 yx1 的距离 d|11|2 2，所以|AB|2 22（2）22 2.6直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点，则|AB|_Thank you for watching!
