1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情分析核心素养1.了解任意角的概念.2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.任意角三角函数的定义及应用是2021年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为5分.1.数学运算2.数学建模知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角
2、的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|角度与弧度的换算1 rad0.017 45 rad，1 rad5718弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线，有向线
3、段OM为余弦线，有向线段AT为正切线常用结论(1)若，则tan sin .(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修4P12例2改编)已知角的终边过点P(8
4、m，3)，且cos ，则m的值为()ABCD答案：A3(必修4P4例1改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的角构成的集合为_答案：675，315三、易错自纠4下列说法正确的是()A三角形的内角必是第一、二象限角B第一象限角必是锐角C不相等的角终边一定不相同D若2k(kZ)，则和终边相同答案：D5若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(00时，r5a，sin ，cos ；当a0时，r5a，sin ，cos .故sin cos 或.答案：|题组突破|1若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：选C是第二象限角，2k2k，kZ
5、，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角是第一或第三象限角故选C2集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样；当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样，结合选项知选C3与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150.答案：150名师点津1判断象限角的2种方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并
6、根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k360(00)，弧长为l，则由扇形面积公式可得，2|r24r2，解得r1，所以l|r4，所以所求扇形的周长为2rl6.名师点津有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形三角函数的定义是考查热点，常见的命题角度有：(1)利用三角函数的定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线比较大小或解不等式命题角度一利用三角函数的定
7、义求值【例1】(1)(2019届南昌二中模拟)已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于()Asin 2Bsin 2Ccos 2Dcos 2(2)(2019届许昌调研)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _解析(1)因为r2，由任意角的三角函数的定义，得sin cos 2.(2)因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x，解得x3，所以tan .答案(1)D(2)名师点津定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，
8、可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标命题角度二判断三角函数值的符号【例2】(1)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D不存在(2)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1)因为2340，cos 30.所以sin 2cos 3tan 40，故选A(2)由sin tan 0，可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0，可知cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为
9、第三象限角. 答案(1)A(2)C名师点津三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况命题角度三利用三角函数线比较大小或解不等式【例3】sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是()Asin 1cos 1tan 1 Btan 1sin 1cos 1Ccos 1tan 1sin 1 Dcos 1sin 1 rad，因为OMMPAT，所以cos 1sin 1tan 1.故选D答案D名师点津利用单位圆解三角不等式(组)或比较大小的一般步骤(1)用边界
10、值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式|跟踪训练|1已知角的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为()A(1，)B(，1)C(，)D(1，1)解析：选D设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1，1)2满足cos 的角的集合为_解析：作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为2k2k，kZ.答案：【例】如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)
11、，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析因为P0(，)，所以P0Ox.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得POP0t，所以POxt.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2.令t0，则d2.当t时，d0，故选C答案C名师点津紧扣三角函数定义，利用时间t的特殊值判断结果|跟踪训练|已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30，交单位圆于点B(xB，yB)，则xAyB的取值范围是()A2，2B， C1，1D解析：选C设由x轴正方向逆时针转到射线OA的角为，根据三角函数的定义得xAcos ，yBsin(30)，所以xAyBcos sin(30)sin cos sin(150)1，1
