1、章末检测(二)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数;三角函数是周期函数;ycos x(xR)是周期函数ABC D解析:显然是大前提,是小前提,是结论答案:D2用反证法证明命题“是无理数”时,假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数解析:假设应为“不是无理数”,即“是有理数”答案:D3下列推理过程属于演绎推理的为()A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验B由112,1
2、322,13532,得出135(2n1)n2C由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D通项公式形如ancqn(cq0)的数列an为等比数列,则数列2n为等比数列解析:A是类比推理,B是归纳推理,C是类比推理,D为演绎推理答案:D4由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面_”横线处可填的内容是()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,边的中点对应正四面体的面正三角形的中心答案:C5观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图
3、形为()A BC D解析:由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确答案:A6.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为()A6 B7C8 D9答案:C7用反证法证明命题“若a2b20,则a,b全为0(a,bR)”,其反设正确的是()Aa,b至少有一个不为0 Ba,b至少有一个为0Ca,b全不为0 Da,b中只有一个为0解析:“a,b全为0”的反设应为“a,b不全为0”,即“a,b至少有一个不为0”答案:A8我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等
4、,但形状完全相同,就把它们叫做相似体下列几何体中,一定属于相似体的有()两个球体;两个长方体;两个正四面体;两个正三棱柱;两个正四棱锥A4个 B3个C2个 D1个解析:类比相似形中的对应边成比例知,属于相似体答案:C9在等差数列an中,若a100,则有等式a1a2ana1a2a19n(n2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为_解析:“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“x,y均不大于1”,亦即“x1且y1”答案:x,y均不大于1(或者x1且y1)14已知圆的方程是x2y2r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质,可以得到椭圆1类似的
5、性质为_解析:圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为:过椭圆1上一点P(x0,y0)的切线方程为1.答案:经过椭圆1上一点P(x0,y0)的切线方程为115如图,第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3,),则第n2(n2)个图形中共有_个顶点解析:设第n个图形中有an个顶点,则a1333,a2444,an(n2)(n2)(n2),an2n2n.答案:n2n16若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,xn,总满足f(x1)f(x2)f(xn)f,称函数f(x)为
6、D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0,)上是凸函数,则ABC中,sin Asin Bsin C的最大值是_解析:因为f(x)sin x在(0,)上是凸函数(小前提),所以(sin Asin Bsin C)sin(结论),即sin Asin Bsin C3sin.因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案:三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)用综合法或分析法证明:(1)如果a,b0,则lg ;(2)22.证明:(1)当a,b0时,有,lg lg,lglg ab.(2)要证22,只要证()2(22)2,即22,这是显然成立的,所以,原不等式成立1
7、8(12分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,an有如下性质:(m,n,p,qN*)通项anam(nm)d;若mnpq,则amanapaq;若mn2p,则aman2ap;Sn,S2nSn,S3nS2n构成等差数列类比上述性质,在等比数列bn中,写出相类似的性质解析:在等比数列bn中,公比为(0),前n项和为Sn,bn有如下性质:(m,n,p,qN*)通项bnbmnm;若mnpq,则bmbnbpbq;若mn2p,则bmbnb;Sn,S2nSn,S3nS2n(Sn0)构成等比数列19(12分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处(1)求证:四边形的内角和等于360.证明:设四边形AB
8、CD是矩形,则它的四个角都是直角,有ABCD90909090360,所以四边形的内角和为360.(2)已知和都是无理数,试证:也是无理数证明:依题设和都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以必是无理数(3)已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0,用反证法证明:关于x的方程x22x5m20无实根证明:假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0,解得2m,而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24),2m,m24,0,即关于x的方程x22x5m20无实根解析:(1)犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是“无理数与无理
9、数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无法判定(3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所以不是反证法20(12分)已知实数x,且有ax2,b2x,cx2x1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.证明:假设a,b,c都小于1,即a1,b1,c1,则abc3.abc(2x)(x2x1)2x22x223,且x为实数,2233,即abc3,这与abc3矛盾假设不成立,原命题成立a,b,c中至少有一个不小于1.21(12分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sna
10、4n1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数列(1)证明:a2;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有0,a2.(2)当n2时,4Sn1a4(n1)1,4an4Sn4Sn1aa4,即aa4an4(an2)2,又an0,an1an2,当n2时,an是公差为2的等差数列又a2,a5,a14成等比数列aa2a14,即(a26)2a2(a224),解得a23.由(1)知,4a1a54,a11,又a2a1312,数列an是首项a11,公差d2的等差数列an2n1.(3)证明:1,因为ak2ak1或ak2ak136,所以2ak1是3的倍数,于是ak1是3的倍数类似可得,ak2,a1都是3的倍数从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数