1、4.4*数学归纳法必备知识自主学习导思 1.数学归纳法证题的原理是什么？2数学归纳法证题的步骤是什么？数学归纳法(1)概念：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法(2)证明形式：记 P(n)是一个关于正整数 n 的命题条件：(1)P(n0)为真；(2)若 P(k)(kN*，kn0)为真，则 P(k1)也为真结论：P(n)为真(1)验证的第一个值 n0 一定是 1 吗？提示：不一定，如证明“凸 n 边形对角线的条数 f(n)n（n3）2”时，第一步应验证n3 是否成立(2)
2、在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(2)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由 nk 到 nk1 时，项数都增加了一项()(3)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证 n1 时，左边式子应为 122223.()提示：(1)也可以用其他方法证明(2)有的增加了不止一项(3)观察左边的式子可知有 n3 项，所以验证 n1 时，左边式子应为 122223.2用数学归纳法证明等式 135(2n1)n2
3、(nN*)的过程中，第二步假设nk(kN*)时等式成立，则当 nk1 时应得到()A.135(2k1)k2B.135(2k1)(k1)2C.135(2k1)(k2)2D.135(2k1)(k3)2【解析】选 B.由数学归纳法知第二步假设 nk(kN*)时等式成立，则当 nk1 时应得到 135(2k1)(k1)2.3用数学归纳法证明：(n2)(n3)(2n2)2n113(2n1)，()nN*时，从“nk(kN*)到 nk1”时，左边应增添的代数式为_【解析】nk(kN*)时，左边(k2)(k3)(k4)(2k2)，当 nk1 时，左边(k3)(k4)(2k2)(2k3)(2k4)，所以需要增乘
4、的式子为（2k3）（2k4）k22(2k3).答案：2(2k3)关键能力合作学习类型一 数学归纳法中的增项问题(数学运算、逻辑推理)1用数学归纳法证明 112 13 12n1 1的第二步从 nk(kN*)到 nk1 成立时，左边增加的项数是()A2k1 B2kC.2k1D2k1【解析】选 B.当 nk(kN*)时，左端112 13 12k1，当 nk1 时，左端112 13 12k1 12k 12k1 12k11，所以左端增加的项为 12k 12k1 12k11，所以左端增加的项数为 2k112k12k212k.2(2021吉林高二检测)用数学归纳法证明 1n1 1n2 13n 56 时，从
5、nk(kN*)到 nk1，不等式左边需添加的项是()A.13k1 13k2 13k3B.13k1 13k2 13k3 1k1C.13k1D.13k3【解析】选 B.当 nk(kN*)时，所假设的不等式为 1k1 1k2 13k 56，当 nk1 时，要证明的不等式为 1k2 1k3 13k 13k1 13k2 13k3 56，故需添加的项为13k1 13k2 13k3 1k1.3用数学归纳法证明 122225n1()nN*能被 31 整除时，从 k(kN*)到k1 添加的项数为_【解析】当 nk(kN*)时，原式为：122225k1，当 nk1 时，原式为 122225k125k25k125k
6、225k325k4，比较后可知多了 25k25k125k225k325k4，共 5 项答案：5 数学归纳法中增项的判断方法从 nk(kN*)到 nk1 时，等式或不等式左边需添加的项可能是一项，但也可能是多项，必须写出 nk 时的式子，和 nk1 时的式子，让两个式子作差，才能得出正确结果，把握式子中项的变化规律是关键点，要看清 n 加了 1，项随之发生的变化，搞清最后一项是什么类型二 等式与不等式的证明(数学运算、逻辑推理)【典例】1.用数学归纳法证明：1n2(n1)n1n（n1）（n2）6()nN*.【解析】当 n1 时，111（11）（12）6，等式成立，假设当 nk(kN*)时，等式成
7、立，即 1k2(k1)k1k（k1）（k2）6，则当 nk1 时，1(k1)2k(k1)11k2(k1)k1123(k1)k（k1）（k2）6（k1）（k2）2（k1）（k2）（k3）6，原等式仍然成立，所以 1n2(n1)n1n（n1）（n2）6()nN*.2(2021蚌埠高二检测)试用数学归纳法证明：122 132 1（n1）2 12 1n2.【解析】(1)当 n1 时，左边14，右边16，不等式成立；(2)假设当 nk()kN*时，原不等式成立，即 122 132 1（k1）2 12 1k2，当 nk1 时，122 132 1（k1）2 1（k2）2 12 1k2 1（k2）2，因为12
8、 1k2 1（k2）2 12 1k3 1k3 1k2 1（k2）2 1k3（k2）2 0，所以12 1k2 1（k2）2 12 1k3.即 122 132 1（k1）2 1（k2）2 12 1k3，所以，当 nk1 时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立用数学归纳法证明等式或不等式问题的四个关键点 用数学归纳法证明：132333n3n（n1）22，nN*.【解析】当 n1 时，左边1，右边12221，等式成立假设当 nkkN*，k1时等式成立，即 132333k3k（k1）22.那么当 nk1 时，132333k3(k1)3k（k1）22(k1)3(k
9、1)2k24 k1(k1)2（k2）24（k1）（k2）22，等式也成立根据和，可知 132333n3n（n1）22 对任何 nN*都成立原等式得证 【补偿训练】证明：112 13 14 12n1 n2()nN*.【解析】当 n1 时，112 成立，假设 nk(kN*，k1)时，不等式 112 13 14 12k1 k2 成立，那么 nk1 时，112 13 14 12k1 12k11 12k12 12k k2 12k11 12k，因为12k11 12k，12k12 12k，12k 12k，所以 112 13 14 12k1 12k11 12k12 12k k2 2k12kk12，即 nk1
10、时，该不等式也成立，综上，不等式 112 13 14 12n1 n2()nN*.【拓展延伸】整除问题【典例】(2021上海高二检测)用数学归纳法证明：11n1122n1 能被 133 整除()nN*.【解析】当 n1 时，11n1122n111212133 能被 133 整除，所以 n1 时结论成立，假设当 nk()kN*时，11k1122k1 能被 133 整除，那么当 nk1 时，11k2122k111k111122k112211k111122k111122k111122k11221111k1122k1133122k1.由归纳假设可知 1111k1122k1133122k1 能被 133
11、整除，即 11k2122k1能被 133 整除所以 nk1 时结论也成立，综上，由得，11n1122n1 能被 133 整除【拓展训练】1用数学归纳法证明：对任意正整数 n，4n15n1 能被 9 整除【解析】(1)当 n1 时，4n15n118，能被 9 整除，故当 n1 时 4n15n1 能被 9 整除(2)假设当 nk(kN*)时，命题成立，即 4k15k1 能被 9 整除，则当 nk1 时，4k115(k1)144k15k19(5k2)也能被 9 整除综合(1)(2)可得，对任意正整数 n，4n15n1 能被 9 整除2求证：xnnan1x(n1)an 能被(xa)2 整除n2，nN*
12、.【解析】当 n2 时，原式x22axa2()xa2，能被(xa)2 整除；当 nk(kN*，k2)时，假设 xkkak1x()k1ak，能被(xa)2 整除，当 nk1 时，xk1(k1)akxkak1xxkkak1x（k1）akkak1x22kakxkak1xxkkak1x（k1）ak(xa)2kak1，xkkak1x(k1)ak，(xa)2kak1 均可被(xa)2 整除，所以当 nk1 时，命题成立综上：由知 xnnan1x(n1)an 能被(xa)2 整除类型三 归纳、猜想、证明(数学运算、逻辑推理)【典例】设数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的正整数 n 都满足Sn12an
13、Sn.(1)求 S1，S2，S3 的值，猜想 Sn 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的 Sn 的表达式的正确性【思路导引】(1)n1 时，可求出 S1，n2 时，利用 anSnSn1 可得到关于 Sn 的递推关系，即可求出 S2，S3 的值，进而猜想出 Sn 的表达式；(2)根据数学归纳法的步骤证明即可【解析】(1)当 n1 时，S112S21，所以 S112，当 n2 时，Sn12SnSn1Sn，所以 Sn12Sn1，所以 S223，S334，猜想 Sn nn1，nN*.(2)下面用数学归纳法证明：当 n1 时，S112，nn1 12，猜想正确；假设 nk(kN*)时，猜想正确，
14、即 Sk kk1，那么当 nk1 时，可得 Sk112Sk12 kk1k1k1 1，即 nk1 时，猜想也成立综上可知，对任意的正整数 n，Sn nn1 都成立1“归纳猜想证明”的解题步骤2“归纳猜想证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前 n 项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单命题(n1，2，3)，猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题提醒：计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功如果猜想出来的结论与正整数 n 有关，一般用数
15、学归纳法证明1(2021海口高二检测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn 1Sn 2an(n2)，a123，则 Sn_【解析】因为当 n2 时，有 anSnSn1，因此由 Sn 1Sn 2an，可得 Sn 1Sn 2SnSn1，化简得：Sn12Sn1，因为 S1a123，所以 S212S1122334，S312S2123445，由此猜想数列 Sn的通项公式为：Snn1n2，现用数学归纳法证明：当 n1 时，S123，显然成立；假设当 nk(kN*)时成立，即 Skk1k2，当 nk1 时，Sk112Sk12k1k2k2k3，综上所述：Snn1n2.答案：n1n22已知数列 an的
16、前 n 项和为 Sn，a214，且 an121nSn2n1()nN*.(1)求S12，S24，S38；(2)由(1)猜想数列Sn2n的通项公式，并用数学归纳法证明【解析】(1)因为 an121nSn2n1()nN*，当 n1 时，a1S1121S11，解得 S12，即有S12 1；当 n2 时，a2S2S11212S2214，解得 S216，则S24 4；当 n3 时，a3S3S21213S322，解得 S372，则S38 9；(2)由(1)猜想可得数列Sn2n的通项公式为Sn2n n2()nN*.下面运用数学归纳法证明当 n1 时，由(1)可得S12 1 成立；假设 nk()kN*，Sk2k
17、 k2 成立，当 nk1 时，ak1Sk1Sk12 1k1Sk12k11，即有12 1k1Sk1Sk2k2kk22kk212k，则k12k1Sk1k1k12k，当 k1 时，上式显然成立；当 k1 时，Sk12k122kk122k1，即Sk12k1 k12，则当 nk1 时，结论也成立由可得对一切 nN*，Sn2n n2 成立课堂检测素养达标1用数学归纳法证明等式 1aa2an11an21aa1，nN*时，当 n1时，左边等于()A1 B1aC1aa2Da2【解析】选 C.在验证 n1 时，令 n1 代入左边的代数式，得到左边1aa111aa2.2用数学归纳法证明1351n2n11nn，nN*
18、成立那么，“当 n1 时，命题成立”是“对 nN*时，命题成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选 B.“当 n1 时，命题成立”不能推出“对 nN*时，命题成立”；“对 nN*时，命题成立”可以推出“当 n1 时，命题成立”，所以“当 n1 时，命题成立”是“对 nN*时，命题成立”的必要不充分条件3对于不等式n2n n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当 n1 时，121 11，不等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即k2k k1，则当 nk1 时，（k1）2（k1）k23k2（k23k2）k2（k2）2(k1)1，所以 nk1 时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1 验得不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk1 的推理不正确【解析】选 D.在 nk1 时，没有应用 nk 时的归纳假设4用数学归纳法证明“5n2n 能被 3 整除”的第二步中，当 nk1 时，为了使用假设，应将 5k12k1 变形为()A5k2k45k2kB25k2k35kC525k2kD55k2k32k【解析】选 D.5k12k15k52k255k2k52k22k55k2k32k.
