1、第三节函数的奇偶性及周期性最新考纲考情分析核心素养1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是2021年高考考查的热点题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5分到10分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
2、有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称常用结论(1)函数奇偶性的几个重要结论如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(2)有关对称性的结论若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)关于点(a，0)中心对称若对于R上的任意x都有f(x
3、)f(2ax)，则函数f(x)的图象关于直线xa对称；若f(x)f(2ax)2b，则函数f(x)关于点(a，b)中心对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论定义式f(xT)f(x)对定义域内的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，则函数f(x)的周期为T|ab|；若在定义域内满足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a0)，则f(
4、x)为周期函数，且T2a为它的一个周期对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶
5、函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x答案：B3(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_答案：1三、易错自纠4设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1Bx|x1或0x1Cx|x1
6、Dx|1x0或0x1解析：选D由题意，得f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0.奇函数f(x)在(0，)上是增函数，从而函数f(x)在(，0)(0，)的大致图象如图所示：则不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0x1，故选D5已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式f(x2)0的解集是_解析：由已知可得x21或x21，解得x3或x1，所求解集是(，13，)答案：(，13，)6若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0xf(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f解析f(x)是
7、定义域为R的偶函数，ff(log34)log34log331，022201，022f(2)f，故选C答案C命题角度二周期性与奇偶性结合【例2】(2020届四川五校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，当x(0，1时，f(x)2xln x，则f(2 019)_解析由f(x)f(x4)得f(x)是周期为4的函数，故f(2 019)f(45051)f(1)又f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(2ln 1)2.答案2命题角度三单调性、奇偶性与周期性结合【例3】已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24，8，当x10；f(x4)f(x)；yf(x4)
8、是偶函数若af(6)，bf(11)，cf(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是()AabcBbacCacbDcba解析由得，f(x)在4，8上单调递增；由得，f(x8)f(x4)f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以cf(2 017)f(25281)f(1)，bf(11)f(3)；由得，f(x)的图象关于直线x4对称，所以bf(3)f(5)，cf(1)f(7)结合f(x)在4，8上单调递增可知，f(5)f(6)f(7)，即babcBcabCbcaDacb解析：选D偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.
9、4)，cf(0.5)f(0.5)0.80.5cb，故选D【例】已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 (xiyi)()A0BmC2mD4m解析y1，其图象如图，关于点(0，1)对称又f(x)2f(x)，即f(x)f(x)2，yf(x)的图象也关于点(0，1)对称又y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称不妨设点(x1，y1)与(xm，ym)关于点(0，1)对称点(x2，y2)与(xm1，ym1)关于点(0，1)对称，.由对
10、称性可知x1xm0，x2xm10，y1ym2，y2ym12，. (xiyi)xiyi02m.故选B答案B名师点津求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴|跟踪训练|(2019届江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)4，g(x)sin x2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则 (xiyi)()AnB2nC3nD4n解析：选C因为f(x)f(x2)4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称因为g(x)sin x2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以xin，yi2n，所以 (xiyi)3n，故选C
