1、第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)1.通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学学科素养2通过斜截式的学习，提升数学建模和逻辑推理的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式 已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 图示 b方程形式 yy0 _ 适用条件斜率存在k(xx0)ykxb思考：直线的点斜式方程能否
2、表示坐标平面上的所有直线呢？提示 不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x 轴的直线，其方程都不能用点斜式表示2直线在 y 轴上的截距定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的 符号：可正，可负，也可为零纵坐标 bC 由直线的点斜式方程可知直线 l 的斜率是 3.1直线 l 的点斜式方程是 y23(x1)，则直线 l 的斜率是()A.2 B1 C3 D3D 由直线的点斜式方程可知，该直线方程为 y03(x2)，即y3(x2)，选 D.2过点 P(2，0)，斜率为 3 的直线的方程是()A.y3x2 By3x2C.y3(x2)Dy3(x2)D 由题意知，直线的斜率 k1，又在 y 轴上截
3、距为1，故直线方程为 yx1，选 D.3倾斜角为 135，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是()A.yx1 Byx1C.yx1 Dyx13，4 根据斜截式可以知道，直线的斜率为 3，在 y 轴上的截距为4.4直线 y3x4 的斜率和在 y 轴上的截距分别为_合 作 探 究 释 疑 难 直线的点斜式方程【例 1】(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为 45，则这条直线的点斜式方程为_(2)经过点(5，2)且平行于 y 轴的直线方程为_(3)求经过点(2，3)，倾斜角是直线 y 13x 倾斜角的 2 倍的直线的点斜式方程(1)y5x2(2)x5(1)因为倾斜角为 45，所以斜率 ktan 45
4、1，所以直线的点斜式方程为 y5x2.(2)因为直线平行于 y 轴，所以直线不存在斜率，所以方程为 x5.(3)解：因为直线 y 13x 的斜率为 13，所以倾斜角为 30.所以所求直线的倾斜角为 60，其斜率为 3.所以所求直线方程为 y3 3(x2).求直线的点斜式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点 P(x0，y0)的直线与 x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为 x0，故直线方程为 xx0.跟进训练1已知点 A(3，3)和直线 l：y34x52.求：(1)过点 A 且与直线 l 平行的直线的点斜式方程；(2)过点 A 且与直线 l 垂直的直线的点斜式方程解 因为直线 l：y34x52
5、，所以该直线的斜率 k34.(1)过点 A(3，3)且与直线 l 平行的直线方程为y334(x3).(2)过点 A(3，3)且与直线 l 垂直的直线方程为 y343(x3).直线的斜截式方程【例 2】求下列直线的斜截式方程：(1)斜率为4，在 y 轴上的截距为 7；(2)在 y 轴上的截距为 2，且与 x 轴平行；(3)倾斜角为 150，与 y 轴的交点到原点的距离为 3.解(1)直线的斜率为 k4，在 y 轴上的截距 b7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为 y4x7.(2)直线的斜率为 k0，在 y 轴上的截距为 b2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为 y2.(3)直线的倾斜角为 1
6、50，所以斜率为 33，因为直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，所以在 y 轴上的截距 b3 或 b3，故所求的直线方程为 y 33 x3 或 y 33 x3.求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在 y 轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程 ykxb 中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数 k，b 的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率 k，只需引入参数 b；同理，如果已知截距 b，只需引入参数 k.跟进训练2已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三
7、角形，求 l 的斜截式方程解 设直线方程为 y16xb，则 x0 时，yb；y0 时，x6b.由已知可得12|b|6b|3，即 6|b|26，b1.故所求直线方程为 y16x1 或 y16x1.两直线平行与垂直的应用探究问题1已知 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若 l1l2，应满足什么条件？若 l1l2，应满足什么条件？提示 k1k2 且 b1b2；k1k21.2若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？提示 平行或重合【例 3】(1)当 a 为何值时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行？(2)当 a 为何值时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l
8、2：y4x3垂直？思路探究：确定直线的斜率 l1l2kl1kl2且b1b2l1l2kl1kl21得解解(1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2，a221，2a2，解得 a1.故当 a1 时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得 a38.故当 a38时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直两条直线平行和垂直的判定若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2（k1，k2 都存在）(1)平行的判定：l1l2k1k2 且 b1b2.(2)垂直的判定：l1l2k1k21.y2x1 由
9、 y2x7 得 k12，由两直线平行知 k22.所以所求直线方程为 y12(x1)，即 y2x1.跟进训练3经过点(1，1)，且与直线 y2x7 平行的直线的斜截式方程为_y35x3 设 BC 边上的高为 AD，则 BCAD，所以 kBCkAD1，所以2303kAD1，解得 kAD35.所以 BC 边上的高所在直线的方程是 y035(x5).即 y35x3.4已知ABC 的三个顶点分别是 A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则 BC 边上的高所在直线的斜截式方程为_课 堂 小 结 提 素 养 1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有yy1xx1k，
10、此式是不含点 P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为 yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为 k 的直线 ybk(x0)，即 ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个 y，其系数是 1；等号的另一端是 x 的一次式，而不一定是 x的一次函数(k0 时).如 yc 是直线的斜截式方程，而 2y3x4 不是直线的斜截式方程C 直线方程 y2x1 可化为 y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.1已知直线的方程是 y2x1，则()A.直线经过点(1，2)，斜率
11、为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为 1C 直线的斜率 ktan 60 3，故其方程为 y2 3(x3).选 C.2过点(3，2)，倾斜角为 60的直线方程为()A.y2 3(x3)By2 33(x3)C.y2 3(x3)Dy2 33(x3)D 通过画出草图可以观察出，当直线 ykxb 经过二、三、四象限时，k0，b0，故选 D.3如果方程为 ykxb 的直线经过二、三、四象限，那么有()A.k0，b0 Bk0，b0C.k0，b0 Dk0，b0y1(x2)直线 l2 的斜率 k21，故 l1 的斜率为1，所以l1 的点斜式方程为 y1(x2).4已知直线 l1 过点 P(2，1)且与直线 l2：yx1 垂直，则 l1 的点斜式方程为_5直线 l 经过点 P(3，4)，它的倾斜角是直线 y 3x 3的倾斜角的 2 倍，求直线 l 的点斜式方程解 直线 y 3x 3的斜率 k 3，则其倾斜角 60，所以直线 l 的倾斜角为 120.所以直线 l 的斜率为 ktan 120 3.所以直线 l 的点斜式方程为 y4 3(x3).点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
