1、直线与平面平行【例1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.11111111111/./1/MEBCBBENFADABFEFEFAA B BMEB M NFBNBCB CADBDABCDA B C DCMDNB MNBMEBNNFB CBDMENFBCBDADMEBCADNFMEFNMNEFMNAA如图，作，交于，作，交于，连结，则平面易得，在正方体中，所以又，所以，所以又，所以四边形为平行四边方法：形，所【证明】以，所以平面11.B B111111111111././2.CNBAPB PB PAA B BNDCNNDCN
2、BPNBPNCMDNB CBDCMDNCNMNB PMBNBNPB PAA B BMNAA B B如图，连结并延长交所在直线于点，连结，则平面因为，所以又，所以，所以因为平面，所以平面方法：1111111111/./.,/.3/MPBBBCPNPCMCPMPBBMBPBBDB CDNCMCMDNCPDNB MBNMBNBPBNBNPCDABMNPAA B BMNAA B B如图，作，交于点，连结因为，所以因为，所以，所以所以所以，所以平面平面，所以平面方法：(1)欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找这条“目标直线”，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡寻找方法一是将线段
3、平移到已知平面(如方法1)；寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影(如方法2)(2)若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线(如方法3)【变式练习1】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E分别是BC、B1C1的中点求证：(1)DE平面ACC1A1；(2)平面A1EB平面ADC1.11111111111111/./1/.BCC BBBCCDEBCB CDECCCCACC ADEACC ADEACC A在侧面中，又因为点、分别是、的中点，所以又平面，平面，所以平面【证明】11111
4、11111111111111111/./.2DECCDECCAACCDEAAADEAADA EADADCA EADCA EADCBDC EBDC EBDC EBEDCDCADCBEADCBEADCBEA EEBE由知，且，又，所以，所以四边形是平行四边形所以，又平面，平面，所以平面因为且，所以四边形是平行四边形所以，又平面，平面，所以平面因为，平面11111/.A EBA EA EBA EBADC，平面，所以平面平面与平行有关的探索性问题【例2】如 图，在 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中，已知DC2AB，ABDC，设E是DC上一点，试 确 定 E 点 的 位 置，使D1E平面A1BD
5、.1111111111111111/././1/.EDCD EA BDDEABDEABABEDBEADBEADA DBEBEA DA D EBD EA BA BA BDD EA BDD EA BD设 是的中点，则平面因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故四边形为平行四边形，所以又方【解析】平面，平面，所以平面法：1111111111111111/././.2/./DA DADHHBDDCED EA BDD HA DD HA BDHEA BDD HEHHA BDD HED ED HED EA BD过作的平行线交的延长线于，过 作的平行线交于，则平面证明：因为，所以平面同理，平面，又，所以平
6、面平面又平面，所以平面方法：这是一道探索性问题，常先确定E的位置，再进行证明而确定E的位置，可在过点D1且与平面A1BD的平行平面内中(如方法2)，或与平面A1BD内直线平行的直线中(如方法1)，找出确定的点E.【变式练习2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA平面MQB.1/.3./.11.2323/./.tPAMQBACACBQOOMAOQCOBADBCAOQCOBAOAQAOOCCBACCAPCOMCOCMACPOCMCACPCAPCOMCPACMOAPOMOMMQBPAMQBPAMQB当 时，
7、平面连结，设，连结在与中，因为，所以所以，所以在与中，因为，所以，所以，所以因为平面，平面，所析平面【】以解1.给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线同时平行于两个不重合的平面，那么这两个平面平行；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条平行线，那么这两个平面互相平行其中真命题的序号是_.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是AC上一动点，P、Q分别为DD1、CC1的中点，则平面AOP与平面BQD1的位置关系是_.平行 3.已知在三棱锥PABC中，点M、N分
8、别是PAB和PBC的重心，若ACa，则MN_.213223221.33321PMABDPNBCEDEMNPABPBCPMPNDEPDPEACMNACaDEMNDEACa连结并延长交于点，连结并延长交于点，连结因为点、分别是和的重心，所以，所以，因为，所以【解析】4.在四面体ABCD中，M、N分别是ACD和BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.平面ABC和平面ABD.2/.1/./.DMDNACBCQPMNACDBCDPQBCACDMDNMNPQMQNPMNABCPQABCMNABCMNABD如图所示，连结、，并延长分别与、相交于点、因为、分别是和的重心，所以、分别是、的中点，且，所
9、以而平面，平面，所以平面同理可得平面【解析】5.如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ.求证：PQ平面CBE././1/,.PMABBEMQNABBCNPMEPPMQNABEAQNBQCDBDAPDQABCDEABDPMQNPMNQPQMNPQCBEMNCBEPQCBE如图，作交于，作交于则，且又，所以所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，故平面【明】方法：证/././.,/././2/.PRBEABRRQPRCBEBECBEPRCBEAPARPRBEAEABARDQAEBDAPDQABDBRQADRQBC
10、RQBCRQCBEBCCBERQCBEPRRQRPRQCBEPQ如图，作交于，连结因为平面，平面，所以平面因为，所以又因为两矩形全等，所以又，故从而，所以因为，平面，平面，所以平面又方法，所以平面平面因为：平/.PRQPQCBE面，所以平面().,.,/./.3AQBCGEGAQDQADQGBQQGQBAQDQAGDBDQAPDBAEAQAPPQEGAGAEPQCBEEGCBEPQCBE如图，连结并延长与或其延长线 相交于点，连结易知，所以即因为，所以所以又平面，平面，所以平面方法：1/.2/3“”“”ababaababO证明直线与平面平行的步骤是：说明；寻找；证明；由线面平行的判定定理得利用面面平行判定定理证明面面平行时注意，这三个条件缺一不可证明平行问题时要注意 转化思想 的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现 空间问题 与 平面问题 之间的转化
