1、模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1下列叙述中不正确的序号是_若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；每一条直线都有唯一对应的倾斜角；与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90；若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan .【解析】当90时，tan 不存在，所以错误，由直线斜率和倾斜角的知识知正确【答案】2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是_【解析】如图所示，由VSh得，S4，即正四棱柱底面边长为2.A1O1，A1OR.S球4R224.【答案】243已知直线l1：ax4y20与直线
2、l2：2x5yb0互相垂直，垂足为(1，c)，则abc的值为_【解析】垂足(1，c)是两直线的交点，且l1l2，故1，a10.l1：10x4y20.将(1，c)代入l1，得c2；将(1，2)代入l2，得b12.则abc10(12)(2)4.【答案】44圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为_【解析】S底S侧3S底，2S底S侧，即2r2rl，得2r1.设侧面展开图的圆心角为，则2r，180.【答案】1805过点(3，4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_. 【导学号：60420098】【解析】当截距均为0时，设方程为ykx，将点(3，4)，代入得k，即直线方
3、程为4x3y0；当截距不为0时，设方程为1，将点(3，4)代入得a1，即直线方程为xy10.【答案】4x3y0或xy106若x，y满足x2y22x4y200，则x2y2的最小值为_【解析】配方得(x1)2(y2)225，圆心坐标为(1，2)，半径r5，所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5，故可求x2y2的最小值为3010.【答案】30107设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是_(填序号)若l，则l；若l，则l；若l，则l；若l，则l.【解析】当l，时不一定有l，还有可能l，故不对；当l，时，l或l，故不对；若，内必有两条相交直线m，n与平面内的两条相交直线m，n平行，又
4、l，则lm，ln，即lm，ln，故l，因此正确；若l，则l与相交或l或l，故不对【答案】8在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是_【解析】连结B1C交BC1于O，则B1CBC1，又A1B1BC1，所以BC1平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角不妨设正方体棱长为1，则BD1，BO，O1O，在RtBOO1中，tanBO1O.【答案】9已知直线l：yxm(mR)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为_【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，
5、则MPl，且直线l的倾斜角为45，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|2，于是所求圆的方程为(x2)2y28.【答案】(x2)2y2810从直线3x4y80上一点P向圆C：x2y22x2y10引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为_【解析】圆心到直线的距离为d3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为2242.【答案】4211.图1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EFGM，且GMH为正三角形异面直
6、线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角HGM.而在正三角形GMH中，HGM60.【答案】6012侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_【解析】侧棱长为a的正三棱锥PABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为，该球的表面积为3a2.【答案】3a213若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a1.【答案】
7、114(2014全国卷改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_【解析】如图，过点M作O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与O相切于点N.设OMN，则45，即sin ，即.而ON1，OM.M为(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范围为1,1【答案】1,1二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10.试确定m，n的值，使(1)l1l2；(2)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.【解】(1)l1l2，A1B2A2B10，且
8、B1C2B2C10，即或(2)由l1在y轴上的截距为1，得m08(1)n0，n8.又l1l2，A1A2B1B20，即m28m0，m0.16(本小题满分14分)在三棱柱ABCA1B1C1中，已知平面BB1C1C平面ABC，ABAC，D是BC的中点，且B1DBC1.(1)求证：A1C平面B1AD；(2)求证：BC1平面B1AD.图2【证明】(1)如图，连结BA1交AB1于点O，连结OD.由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形，所以O为BA1的中点又D是BC的中点，所以ODA1C.因为A1C平面B1AD，OD平面B1AD，所以A1C平面B1AD.(2)因为D是BC的中点，ABAC，所以ADBC.因为平
9、面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面BB1C1C.因为BC1平面BB1C1C，所以ADBC1.又BC1B1D，且ADB1DD，所以BC1平面B1AD.图317(本小题满分14分)如图3所示，圆x2y28内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求|AB|；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程【解】(1)过点O作OGAB于G，连接OA，当135时，直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为xy10，|OG|，|GA|，|AB|2|GA|.(2)连结OP.当弦AB被P平分时，OPAB，此时kOP2，kAB，直线AB的方程
10、为y2(x1)，即x2y50.图418(本小题满分16分)(2015安徽高考)如图4，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值【解】(1)由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明：在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面M
11、BN.又BM平面MBN，所以ACBM.在直角BAN中，ANABcos BAC，从而NCACAN.由MNPA，得.19(本小题满分16分)(2014全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【解】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.
12、(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.20(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图5(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)(2)图5(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.【解】
13、(1)证法一：在折叠后的图形中，因为ABAC，ADAE，所以，所以DEBC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.证法二：在折叠前的图形中，因为ABAC，ADAE，所以，所以DEBC，即DGBF，EGCF.在折叠后的图形中，仍有DGBF，EGCF.又因为DG平面BCF，BF平面BCF，所以DG平面BCF，同理可证EG平面BCF.又DGEGG，DG平面DEG，EG平面DEG，故平面DEG平面BCF.又DE平面DEG，所以DE平面BCF.(2)证明：在折叠前的图形中，因为ABC为等边三角形，BFCF，所以AFBC，则在折叠后的图形中，AFBF，AFCF.又BFCF，BC，所以BC2BF2CF2，所以BFCF.又BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.(3)由(1)知，平面DEG平面BCF，由(2)知AFBF，AFCF，又BFCFF，所以AF平面BCF，所以AF平面DEG，即GF平面DEG.在折叠前的图形中，AB1，BFCF，AF.由AD知，又DGBF，所以，所以DGEG，AG，所以FGAFAG.故三棱锥FDEG的体积为V三棱锥FDEGFG2.
