1、单元检测九（参考答案）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.（2008福建文）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 条件.答案 充要2.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 .答案 x-2y+7=03.（2008安徽理）若过点A（4，0）的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 .答案 4.过点M（2，1）的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则l的方程是 .答案 x+2y-4=05.直线x-2y-3=0与圆C：(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则ECF的面积为 .答案
2、 26.（2008海南文，15）过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 .答案 7.若a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bx-sinBy+c=0的位置关系是 .答案 垂直8.（2009姜堰中学高三综合练习）已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1（ab0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= .答案 9.（2008山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .答案 2010.设P为双曲线x2-=1上的一点
3、，F1、F2是该双曲线的两个焦点.若|PF1|PF2|=32，则PF1F2的面积为 .答案 1211.（2009东海高级中学高三调研）两个正数m,n的等差中项是5，等比中项是4，若mn,则椭圆=1的离心率e的大小为 .答案 12.已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= .答案 813.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆=1上，则= .答案 14.已知两点A（1，0），B（b,0），若抛物线y2=4x上存在点C使ABC为等边三角形，则b= .答案 5或-二、解答题(本大题共6
4、小题，共90分)15.（14分）过点M（0，1）作直线，使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.解 方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M（0，1）的条件.故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点，联立方程组 由解得xA=,由解得xB=.点M平分线段AB，xA+xB=2xM，即+=0.解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.点B在直线l2:2x+y-8=0上，故可设B（t,8-2
5、t）,M(0,1)是AB的中点.由中点坐标公式得A(-t,2t-6).A点在直线l1:x-3y+10=0上，（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.16.（14分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.解 （1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,m5.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4-2y1，x2=4-2y2，则x1x
6、2=16-8（y1+y2）+4y1y2OMON，x1x2+y1y2=016-8（y1+y2）+5y1y2=0由得5y2-16y+m+8=0y1+y2=,y1y2=,代入得，m=.（3）以MN为直径的圆的方程为（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.17.（14分）已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A,虚轴的上端点是B，=6-4，BAF=150.（1）求双曲线的方程；（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若+2=0，求直线l的斜率.解 （1）由条件知A(a,0),B(
7、0,b),F(c,0)， =（-a, b)(c-a,0)=a(a-c)=6-4cosBAF=-=cos150=-.a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.a=,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为.(2)点F的坐标为（2，0）.可设直线l的方程为y=k(x-2),令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)，设Q（m,n），则由+2=0得(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).即(4-m,2k-n)=（0,0).即，.=1，得k2=，k=.18.（16分）过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存
8、在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解 设椭圆C的方程为=1(ab0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程，整理得 (k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0.因为直线l与C交于A、B两点=4k4a4-4(a2k2-a2b2)(k2a2+b2)0.即k2a2-k2+b20, 当0时，设直线l与椭圆C的交点为A（x1,y1）、B（x2,y2），AB中点为M（x0,y0),则x0=(x1+x2）=，y0=(y1+y2)= k(x1-1)+k(x2-1)=-.M(x0,y0)在直线y=x上，-=,k=-.又=1-e2=1-=
9、,k=-=-1.因此直线l的方程为y=-x+1.a2=2b2，椭圆C的方程为=1，其右焦点为（b，0），设（b，0）点关于直线y=-x+1的对称点为(x,y),则.因为点（1,1-b)在椭圆上.1+2(1-b)2=2b2，解得b2=.把b2=,a2=,k2=1代入式，得0.b2=，a2=.椭圆C的方程为=1,直线l的方程为y=-x+1.19.(2008海南（宁夏）理，20)(16分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1: =1 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足=+
10、，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程.解 (1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.解得a=2(a=不合题意,舍去).故b2=4-1=3.故椭圆C1的方程为.(2)由=+,知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,因为lMN,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k=.设l的方程为y=(x-m).由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x
11、1+x2=,x1x2=.因为,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2=7-6m+6m2=(14m2-28)=0.所以m=.此时=(16m)2-49(8m2-4)0.故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.20.(16分)已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解 （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k
12、(x+1),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-，得=-=-,解得k=，适合.所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数.（）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1+x2=-,x1x2=. 所以=（x1-m）(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.将代入，整理得=+m2=+m2=m2+2m-.注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-，此时=.（）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，当m=-时，亦有=.综上，在x轴上存在定点M，使为常数.
