1、二次函数和一元二次方程的关系教学设计一 教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。二 教学目标1 知识与技能(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.(2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。2 过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.三 情感态度价值观通过观察二
2、次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想.四 教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。五 教学方法讨论探索法六 教学过程设计(一)问题的提出与解决问题 如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t5t2。考虑以下问题(1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞
3、行时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)球从飞出到落地要用多少时间?分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。当球飞行2s时
4、，它的高度为20m。(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。因为(-4)2-44.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系?例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3。求自变量x的值。分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4+3的值为0，求自变量x的值。一般地
5、，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0。(二)问题的讨论二次函数(1)y=x2+x-2;(2) y=x2-6x+9;(3) y=x2-x+0。的图象如图26.2-2所示。(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，有多少个交点，公共点的横坐标是多少?(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可以看出：(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+
6、x-2=0的根是-2,1。(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x=3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。(三)归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。(2)二次函数的图象与x轴的
7、位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。(四)例题例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。解：作y=x2-2x-2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7。所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7,x22.7。七 小结唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含
8、义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。八 板书设计用函数观点看一元二次方程抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系例题第 6 页
