1、第6章幂函数、指数函数和对数函数习题课对数函数图象与性质的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.mnpB.mpnC.pmnD.pnm答案C解析0m1,p0,故pm1时,f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于x=1对称,故选B.3.函数f(x)=log12(x2-4)的增区间是()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)答案D解析函数y=f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),因为函数y=f(x)是由y=log12t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=log12t在(0
2、,+)上是减函数,g(x)在(-,-2)上是减函数,所以函数y=f(x)在(-,-2)上是增函数.4.设函数f(x)=loga(x+1),x0,x2+ax+b,x0.若f(3)=2,f(-2)=0,则b等于()A.0B.-1C.1D.2答案A解析f(3)=2,loga(3+1)=2,解得a=2,又f(-2)=0,4-4+b=0,b=0.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)在(0,+)上是增函数,且f13=0,则不等式flog18x0的解集为()A.0,12B.12,+C.12,1(2,+)D.0,12(2,+)答案C解析f(x)在(0,+)上是增函数,且f13=0,在(0,+)上f(
3、log18x)0f(log18x)f130log18x13log181log18xlog18181312x2.综上所述,x12,1(2,+).6.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则a,b,c的大小关系是.答案acb解析因为a=log20.220=1,c=0.20.30,所以acb.7.已知函数y=log12(x2-ax+a)在区间(2,+)上是减函数,则实数a的取值范围是.答案(-,4解析令t=x2-ax+a,由函数y在区间(2,+)上是减函数,可得函数t在区间(2,+)上是增函数,且t(2)0,所以a22,t(2)=4-a0,解得a4,所以实数a的取值范围是(-,4.
4、8.已知函数f(x)=log2(1+x2).求证:(1)函数f(x)是偶函数;(2)函数f(x)在区间(0,+)上是增函数.证明(1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log21+(-x)2=log2(1+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=log2(1+x12)-log2(1+x22)=log21+x121+x22.由于0x1x2,则0x12x22,则01+x121+x22,所以01+x121+x221,所以log21+x121+x220.所以f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间(0,+)上是增函数.关键能力提升练9.已知0a
5、1,logamlogan0,则()A.1nmB.1mnC.mn1D.nm1答案A解析0a1,y=logax是减函数.由logamlogann1.10.给定函数y=x12,y=log12(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的是()A.B.C.D.答案B解析y=x在(0,1)上为增函数,不符合题意,排除A,D.y=2x+1在(0,1)上也是增函数,排除C,经验证,在(0,1)上确实为减函数,故选B.11.(2021江苏海门中学月考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab00,1b=log0.3
6、20.ab0.01a+1b=log0.30.41,即0a+bab0,b0,故aba+b2.若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案B解析画出函数f(x)的图象如图所示.不妨设abc,则a0.由f(a)=f(b),得1-2a=2b-1,则2a+2b=2.又f(a)=f(b)=f(c),结合图象,得05-c1,则4c5.162c32.故182a+2b+2clog0.52.8B.log34log65C.log34log56D.logeloge答案ABC解析根据y=log0.5
7、x在定义域上为减函数易知A正确.由log34log33=1=log55log65,可知B正确.由log34=1+log3431+log3651+log565=log56,可知C正确.由e1,loge1loge,可知D错误.14.(多选)(2021江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则()A.f(x)在(2,6)上是增函数B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2C.f(x)在(2,6)上是减函数D.y=f(x)的图象关于直线x=4对称答案BD解析f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln(x-2)(6-x),定义域为(2,6).令t=(x-2)(6-x)
8、,则y=lnt.因为二次函数t=(x-2)(6-x)的图象的对称轴为直线x=4,又f(x)的定义域为(2,6),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,且在(2,4)上是增函数,在(4,6)上是减函数,当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=f(4)=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,故选BD.15.(多选)(2021江苏兴化中学月考)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则下列说法正确的是()A.f(x)是偶函数B.在m2,1)上是减函数,在(1,n上是增函数C.mn=1D.nm=9答案BCD解析定义域关于
9、y轴不对称,f(x)不是偶函数,A错误.因为f(x)=|log3x|=-log3x,0x1,log3x,x1,所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,由0mn且f(m)=f(n),可得0m1,log3n=-log3m,即0m1,mn=1,所以0m2mf(m)=f(n),则f(x)在m2,n上的最大值为f(m2)=-log3m2=2,解得m=13,则n=3,所以nm=9.BCD正确.16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,a1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)0的解集为.答案x|x2解析设u(x)=x2-2x+3,则u(
10、x)在定义域内有最小值.由于f(x)在定义域内有最小值,所以a1.所以loga(x-1)0x-11x2,所以不等式loga(x-1)0的解集为x|x2.18.(2021江苏太仓中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x0时,f(x)=log12x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)-2.解(1)当x0,则f(-x)=log12(-x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).所以函数f(x)的解析式为f(x)=log12x,x0,0,x=0,log12(-x),x-2可化为f(|x2-1|)f(4).又因为函数f(x)在(0,+)上是
11、减函数,所以|x2-1|4,解得-5x5,即不等式的解集为x|-5x0,a1).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解(1)因为a0且a1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,x0,2时,t(x)的最小值为3-2a,因为当x0,2时,f(x)恒有意义,即x0,2时,3-ax0恒成立.所以3-2a0.所以a0且a1,所以a的取值范围为(0,1)1,32.(2)不存在.由(1)知函数t(x)为减函数.若f(x)在区间1,2上为
12、减函数,所以y=logat为增函数,所以a1,当x1,2时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),所以3-2a0,loga(3-a)=1,即aln m(x-1)(7-x)恒成立,求实数m的取值范围.解(1)由x+1x-10,解得x1,所以函数f(x)的定义域为(-,-1)(1,+).当x(-,-1)(1,+)时,f(-x)=ln-x+1-x-1=lnx-1x+1=lnx+1x-1-1=-lnx+1x-1=-f(x),所以f(x)=lnx+1x-1是奇函数.(2)由于x2,6时,f(x)=lnx+1x-1lnm(x-1)(7-x)恒成立,所以x+1x-1m(x-1)(7-x)0.即0m(x+1)(7-x)在x2,6上恒成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x2,6,由二次函数的性质可知,当x2,3时,函数g(x)是增函数;当x3,6时,函数g(x)是减函数,即x2,6时,g(x)min=g(6)=7,所以m的取值范围是(0,7).6
