1、提分专练(五)与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型1|全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在ABC中,AB=AC,ADBC,CEAB,AE=CE.求证:(1)AEFCEB;(2)AF=2CD.图T5-12.2017苏州 如图T5-2,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交于点O.(1)求证:AECBED;(2)若1=42,求BDE的度数.图T5-23.2017呼和浩特 如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边
2、长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图T5-34.如图T5-4,ACB和DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若CAB=CBA=CDE=CED=50.(1)求证:AD=BE;(2)求AEB的度数.图T5-4|类型2|全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图T5-5,在ABC中,ADBC,CEAB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件,使AEHCEB.图T5-56.如图T5-6,在ABC中,C=90,AD平分CAB,交CB于点D,过点D作DEAB于点E.(1)求证:ACDAED;(2)若B=30,CD=1,求BD的长.图T5-6|类型3|全
3、等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图T5-7,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为AB边上一点.(1)求证:ACEBCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-78.如图T5-8,在ABC和BCD中,BAC=BCD=90,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-8参考答案1.证明:(1)ADBC,CEAB,BCE+B=90,FAE+B=90,FAE=BCE.在AEF和CEB中,AEFCEB(ASA).(
4、2)AB=AC,ADBC,BC=2CD.AEFCEB,AF=BC,AF=2CD.2.解析 (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,C=BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出C的度数,进而得到BDE的度数.解:(1)证明:AE和BD相交于点O,AOD=BOE.在AOD和BOE中,A=B,BEO=2.又1=2,1=BEO,AEC=BED.在AEC和BED中,AECBED(ASA).(2)AECBED,EC=ED,C=BDE.在EDC中,EC=ED,1=42,C=EDC=69,BDE=C=69.3.解:(1)证明:AB,AC为等腰三角形的两腰,AB=A
5、C.BD,CE分别是两腰上的中线,AE=AD.在AEC与ADB中,AECADB,BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.4.解:(1)证明:CAB=CBA=CDE=CED=50,AC=BC,DC=EC,ACB=DCE=180-250=80.ACB=ACD+DCB,DCE=DCB+BCE,ACD=BCE.在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS),AD=BE.(2)ACDBCE,ADC=BEC.点A,D,E在同一直线上,且CDE=50,ADC=180-CDE=130,BEC=130.BEC=CED+AEB,且CED=50,AEB=BEC-CED=130-50=80.5.AE=EC(答案不唯一)
6、解析 根据垂直关系,可以判断AEH与CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.ADBC,CEAB,垂足分别为D,E,BEC=AEC=HDC=90,在RtAEH中,EAH=90-AHE,在RtCDH中,DCH=90-DHC,又AHE=DHC,EAH=BCE.所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;根据ASA可添加AE=CE.故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.6.解:(1)证明:AD平分CAB,CAD=EAD.DEAB,C=90,ACD=AED=90.又AD=AD,ACDAED.(2)ACDAED,DE=CD=1.B=30,DEB=90,BD=2DE=2.7
7、.证明:(1)ABC和ECD都是等腰直角三角形,AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=90,ACE+ACD=BCD+ACD,ACE=BCD,在ACE和BCD中,ACEBCD(SAS).(2)ACB是等腰直角三角形,B=BAC=45.ACEBCD,B=CAE=45.DAE=CAE+BAC=45+45=90,AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,2CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,ABF=135.BCD=90,ACD=135.ABF=ACD,CB=CD,CB=BF,BF=CD.在ABF和ACD中,ABFACD(SAS),AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,ABFACD,FAB=DAC.BAC=90,EAB=BAC=90,EAF=BAD.在AEF和ABD中,AEFABD(SAS),BD=EF.12
