1、阶段质量检测（三）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1B2C. D3解析：选B若l1l2，则ab，ab0，1(2)23(2)m0，解得m2.2已知a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且cb0是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若l，则l与a，b所在的直线垂直，ca，cb，ca0，cb0，是必要条件；ab，当a与b同向(或反向)时，由ca0且cb0可
2、以推出ca且cb，但不能推出l，不是充分条件3已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7 B20C28 D11解析：选C因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以 mn0401228.4已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B.C. D.解析：选B设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.5已知空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1,0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面AB
3、C的夹角为()A30 B45C60 D90解析：选A设n(x，y,1)是平面ABC的一个法向量(5，1,1)，(4，2，1)，n.又(2，1,3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin ，30.6在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底； |(ab)c|a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：选C|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零
4、向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确7已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选C设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，|ab|，cos ，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.8在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()A30 B45C60 D90解析：选C如图所示，设|a|m(m0)，a，PA平面xOy，则在RtPBO
5、中，|PB|sina，im，在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|，在RtPAB中，|PA| ，|OD|，在RtPDO中，cosa，k.又0a，k180，a，k60.9在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A. B.C. D.解析：选C取，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB1D1的法向量为n(2，2,1)故A1到平面AB1D1的距离为d.10三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B.C.
6、D.解析：选B如图，设A1点在底面ABC内的射影为点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ABC边长为1，则A，B1，.平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin |cos，n|.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_.解析：由题意知ab，解得2.答案：212若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析：cosa，b，得sina，b，由公式S|a|b|sina，b可得结果答案：613在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若a2b3c
7、，则abc_.解析：a2b3c，a1，b，c.abc.答案：14.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC的中点，K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，此时KG的长为_解析：如图，过K作KMEF，垂足M为EF的中点，则向量与的夹角为120，60.又， 222211211cos 603.|.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)
8、；(3).解：(1)点P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca，abc.16(本小题满分12分)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，BAC90，ABAA12，AC1，M，N分别是A1B1，BC的中点(1)证明：ABAC1；(2)证明：MN平面ACC1A1.证明：依条件可知AB，AC，AA1两两垂直如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系Axyz.根据条件容易求出如下各点坐标：A(0,0,0)，B(0,2,0)，B1(0,2,2)，C1(1,0,2)，M(0,1,2)，N.(1)(0,2,0)，(1,0,2)，0(1
9、)20020.，即ABAC1.(2)因为，(0,2,0)是平面ACC1A1的一个法向量，且002(2)00，所以.又因为MN平面ACC1A1，所以MN平面ACC1A1.17(本小题满分12分)如下(左)图，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别为AC、AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如下(右)图(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小解：(1)ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面A1DC.DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)如图所示，以C为坐标
10、原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0，0，2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3，0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，则x2，z，n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.(0,1，)，sin |cosn，|.CM与平面A1BE所成角的大小为.18(本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系设A
11、CBDN，连接NE，则N，E(0,0,1)，.又A(，0)，M，.，且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BED，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)设P(t，t,0)(0t)，则(t，t,1)，(，0,0)又与所成的角为60，解之得t，或t(舍去)故点P为AC的中点19.(本小题满分12分)(天津高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，可得
12、B(1,0,0)，C(2，2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)由E为棱PC的中点，得E(1，1,1)(1)证明：(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以，BEDC.(2)(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设,01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，
13、可得n1(0，3，1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0，1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.20.(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABADa，BC2a，PD底面ABCD.(1)在PD上是否存在一点F，使得PB平面ACF，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由(2)在(1)的条件下，若PA与CD所成的角为60，求二面角ACFD的余弦值解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(0，a,0)，B(a，a,0)，C(a，a,0)设PDb，则P(0,0，b)，
14、假设存在点F使PB平面ACF，F(0,0，b)(01)，设平面ACF的一个法向量为n(x，y，z)，(a，2a,0)，(0，a，b)，(a，a，b)，则得则n，所以n0，即2aa0，解得.所以2.(2)(0，a，b)，(a，a,0)，因为PA与CD所成的角为60，所以cos 60|cos ，|.则ab.由(1)知平面ACF的一个法向量为n(2,1,3)因为BAD90，ABADa，BC2a，所以CDa，BDa.所以BC2CD2BD2.所以BDCD.又因为PD底面ABCD，则BD平面CDF.所以(a，a,0)是平面CDF的一个法向量所以cos n，.所以二面角ACFD的余弦值为.(B卷能力素养提升
15、)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1已知a(1,1,1)，b(2，21，)，若ab，则与的值可以是()A2， B1,1C1,2 D1,2解析：选A由题意知：2(1)210，即3210，令1，有1，故选B.2直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()Aa BakCap D以上均不能解析：选D对a，ak以及ap均可能有l，故都不能表示l.3已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4，1)若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为()A1,2 B1，2C1,2 D1，2解析：选A由已知得c(m4，m2n4，mn1)
16、，故ac3mn10，bcm5n90.解得4已知点B是点A(3,7，4)在xOz平面上的射影，则2等于()A(9,0,16) B25C5 D13解析：选BA在xOz平面上的射影为B(3,0，4)，则(3,0，4)，225.5已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2解析：选A由题意知或6已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：选D由l1l2得，解得x6，y.7已知向量m、n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成
17、的角为()A30 B60C120 D150解析：选A设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，30.8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：选B，0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得9正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选C以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系令AB2，则A(2，0,0)，
18、O(1,2,1)，所以(1,2,1)又(0,0,2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD 所成角为，则sin |cos，|.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和为()A1 B.C. D2解析：选A以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，(x1,0,1)又F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(1,1，y)由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.二、填空题(本题共4小题，
19、每小题5分，共20分)11若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或12直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin |cos |.答案：13已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b ，则cosa，b_.解析：a(1,1,0)，b(1,0,2)，cosa，b.答案：14正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_解析：如图，以DA，DC，DD1
20、分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由解：与，共面证明如下：在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由加法法则，得，.又E，F分别是AB，CD的中点，故有，.将代入中，
21、再两式相加得2.所以，即与，共面16(本小题满分12分)如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心试用向量方法证明E、F、G、H四点共面证明：如图，分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形MNQR为平行四边形，且有：，.因为四边形MNQR是平行四边形，所以()()()()()又，所以()，即，由共面向量定理知，E、F、G、H四点共面17(本小题满分1
22、2分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC2，E是PC的中点，作EFBP交BP于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DC2.(1)连接AC，交BD于G，连接EG.依题意得A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0，1,1)因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(1,1,0)，且(2,0，2)，(1,0，1)所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(2,2,0
23、)，(2,2，2)，(0,1,1)，故0220，所以PBDE，由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.18(本小题满分12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存
24、在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.19.(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解：(1)证明：由题意可知，在RtABD中，tanABD，在RtABB1中，
25、tanAB1B.又因为0ABD，AB1B，所以ABDAB1B，所以ABDBAB1AB1BBAB1，所以AB1BD.又CO侧面ABB1A1，且AB1侧面ABB1A1，AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1平面CBD.又因为BC平面CBD，所以BCAB1.(2)如图所示，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A，B，C，B10，0，D.又因为2，所以C1.所以，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由得令y，则z，x1，故n(1，)是平面ABC的一个法向量设直线C1D与平面ABC所成的角为，则sin .20(本小题满分12分)如图，在五
26、面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；(2)求二面角ACDE的余弦值解：如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)(1)(1,0,1)，(0，1，1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成角的大小为60.(2)设平面CDE的法向量为u(x，y，z)(1,0,1)，则于是令x1，可得u(1,1,1)又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0，0,1)所以cosu，v.因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为.
