1、32 空间向量的应用32.1 直线的方向向量与平面的法向量学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法2理解平面的方程及求法3能综合有关知识解决问题 课堂互动讲练 知能优化训练 32.1课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1已知两个非零向量a，b，则abab0.若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.2直线AxByC0(A，B不同时为零)的斜率为_，与该直线垂直的直线的斜率为_.ABBA1直线l的方向向量我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做_2法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作_，此时，我们把向量
2、n叫做平面的_知新益能直线l的方向向量法向量n直线的方向向量与平面的法向量各有几条？它们各自之间的关系是怎样的？提示：各有无数条，直线的方向向量都是平行向量，平面的法向量都是平行向量问题探究 课堂互动讲练 考点突破 直线的方向向量 在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量设a、b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1、l2的位置关系：(1)a(1,2，1)，b(3，6,3)；(2)a(1，2,2)，b(2，3，2)【思路点拨】直线的方向向量与直线位置的关系是abl1l2；abl1l2.据此可判断两直线的位置关系例1【解】(1)
3、因为(3，6,3)3(1,2，1)，所以b3a，所以l1l2.(2)因为ab(1，2,2)(2，3，2)(1)2(2)(3)2(2)0，所以ab，所以l1l2.【点评】利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，则l1l2(或l1与l2重合)abakb；l1l2ab0.自我挑战1 在空间直角坐标系中，已知点A(2,4,0)，B(1，3,3)，P是线段AB上的一点，且满足APPB12，试求点P的坐标解：AB(1，1,3)是直线 AB 的方向向量由 APPB12，得AP13AB.设点 P 坐标为(x，y，z)，则(x2，y4，z)13(1，1,3)，
4、即 x213，y413，z1，解得 x53，y113，z1.因此，点 P 的坐标是(53，113，1)平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量(本题满分14分)正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点求平面A1AD的一个法向量求平面的法向量 例2【思路点拨】设n(x，y，z)是平面A1AD的一个法向量，根据n平面A1AD，在平面中找到两个不共线的向量与法向量垂直，利用向量数量积找出x、y、z之间的关系，从而确定n的坐标【规范解答】取 BC 的中点 O、B1C1 的中点 O1，
5、连结AO、OO1，易证 AO平面 BCC1B1.以 O 为原点，以向量OB、OO1、OA 的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D(1,1,0)，A(0,0，3)，A1(0,2，3)，AD(1,1，3)，AA1(0,2,0)设平面 A1AD的法向量为 n(x，y，z)由 n平面 A1AD，得 nAD，nAA1，所以nAD xy 3z0，nAA1 2y0，12 分令 z1，得 n(3，0,1)因此，n(3，0,1)为所求的一个法向量.14 分【名师点评】待定系数法是求平面法向量的一种最基本的方法，由于两个三元一次方程组成的方程组的解不惟一，因此确定的平面的法向量不是惟一的，为了
6、方便起见，这里取z1.在某些几何图形中，若能得到平面的垂线，则法向量就易从图形中找到自我挑战2如图所示，正方体AC1的棱长为1，试写出下列平面的一个法向量(1)平面ABCD；(2)平面ADD1A1；(3)平面ABC1D1；(4)平面A1BC1.解：(1)DD1平面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为DD1(0,0,1)(2)DC平面 ADD1A1，平面 ADD1A1 的一个法向量为DC(0,1,0)(3)A1DAD1，A1DAB，A1D平面 ABC1D1，平面 ABC1D1 的一个法向量为DA1(1,0,1)(4)A1C1平面 BB1D1D，A1C1DB1.同理 A1BDB1.DB1平面
7、 A1BC1.平面 A1BC1的一个法向量为DB1(1,1,1)1空间直线的方向向量和平面中直线的方向向量意义相同，就是直线上有向线段表示的向量或与其共线的向量，可以刻画直线的延伸趋势一旦给出直线经过某点，就可以确定出直线位置2平面的法向量就是与平面垂直的向量，由它也可以确定出平面的位置方法感悟 3在立体几何解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算在给出的几何体比较特殊(能构建空间直角坐标系)时，坐标运算更为简便4确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量知能优化训练
