1、上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第9部分:直线与圆一、选择题：二、填空题：7(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)直线，则直线与的夹角为= 7(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)直线，则直线与的夹角为= 13(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 3、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)直线被圆所截得的弦长等于 2 9(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)设圆的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 4 。7(上海市闵行区201
2、1届高三下学期质量调研文科)经过点且法向量为的直线的方程为 . 13、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)（理）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点对于以下结论：符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；设为直线上任意一点，则的最小值为；设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号) 14、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)（理）在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为（分别表示不大于的最大整数），则= 1 _14. (上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)（文）在平面直角坐标系中，设
3、点，定义，其中为坐标原点对于以下结论：符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；设为直线上任意一点，则的最小值为；设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号) 8、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为 1 。12、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点，则的最小值为 3 。三、解答题：23(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第
4、1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”) (限于时间，这里不需要举反例，或证明)23(本题满
5、分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分解(1) 设动点为， 1分依据题意，有 ，化简得 3分因此，动点P所在曲线C的方程是： 4分(2) 点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示 5分联立方程组，可化为，则点的坐标满足 7分又、，可得点、点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断因，则=9分 于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部 10分(3)依据(2)可算出，则 ， 14分所以，即存在实数使得结论成立 15
6、分对进一步思考问题的判断：正确 18分22、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)（本题满分16分）已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22、（16分）（1）由， ，得，所以椭圆方程是：4分（2）设EF：（）代入，得，设，由，得由，8分得，（舍去），（没舍去扣1分）直线的方程为：即10分（3）将代入，得（*）记，PQ为直径的圆过，则，即，又，得14分解得，此时（*）方程，
7、存在，满足题设条件16分23(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。23（1）依题意，椭圆过点，故，解得。（3分） 椭圆的方程为。（4分） A B Q O M N x y
8、 9 （2）设，直线的方程为，（5分） 代入椭圆方程，得， （6分）设，则，（7分），故点的坐标为。（8分）同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，。可得点的坐标为。（10分）若时，直线的方程为，与轴交于点；若，直线的方程为， 令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。（12分） （3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。（14分） 证明：设，则， P O M N x y 直线的方程为，代入，得，可求得。（16分） 直线的方程为， 令，得，即直线必过定点。（18分）22. (上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文
9、科)（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由. 22.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：， （2分）则，当且仅当时取等号 （4分）（2）由得，（6分）所以 （9分）（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得 则 又 （13分）所以（15分）当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积
10、是一个非零常数.（16分）22. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分16分）（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .（1）求证：;（2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；xy（3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、是否共线，并说明理由.解;（文科） （1）证法一：由题意，原点必定在圆内，即点代入方程的左边后的值小于0，于是有，即证.证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上. 设两点坐标分别为， ，则有. 对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，
11、于是有.因为，故.（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，可得.又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故. 对于方程所表示的圆，可知，所以.（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，. 则可得点的坐标为，即.又，且，故要使、三点共线，只需证即可.而，且对于圆的一般方程，当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有.所以，即. 故、必定三点共线.23. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分18分）（文理）如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为.xy第23题图-1第23题
12、图-2（1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点. 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】23. （本题满分18分）（理科）解：（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值. 由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积
13、取得最大值，最大值为.（2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为.解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为.则，且.可得又，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.又因为点在圆内运动，所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边形的面积最大，最大值为.不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点与圆心重合.（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大.类比猜想2：当点在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的
14、面积最大.以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.证：设椭圆的方程为（），平行弦的方程为，联立可得不妨设、，则 由于平行弦的斜率保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值（*）.特别地，当斜率不存在时，此结论也成立.由以上结论可知，类比猜想一正确。又对于椭圆内任意一点构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心重合的椭圆内接四边形,而其中,所以必有.即证明了猜想二也是正确的.n 类比猜想3：当点在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值.要证明
15、此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.”在此基础上，可参考以下两种续证方法.证法一：当点在椭圆中心时，不妨设对角线所在直线的斜率为.（i）当时，即为椭圆长轴，又，故是椭圆的短轴. 所以此时椭圆内接四边形的面积为.（ii）当时，对角线的斜率为.由此前证明过程中的（*）可知，,若将代换式中的，则可得弦的长度，.所以，由，则，综上（i）和（ii），故可证明猜想三正确.证法二：如图，四边形对角线交点与椭圆中心重合.y由对称性，不妨设椭圆上的点的坐标为，；相邻的点坐标为，.由对称性可知， 且当时，取得最大值.又因为,故.由，所以故只有当时才满足，而因为，故只有当时成立.即由椭圆参数方
16、程的定义，当且仅当点和点分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时，猜想3正确. 21(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科) (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. xOAMAONCPyxO已知圆. （1）设点是圆C上一点，求的取值范围；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.21 (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（理）（1）点在圆C上，可设；2分，4分从而.6分（2）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.8分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.10分且椭圆长轴长为焦距2c=2. 点N的轨迹是方程为12分所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为.14分
