1、函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在之间. 考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有：（1）待定系数求解方程
2、；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程. 题型一 构造函数和方程解题 例1.已知，（、），则有（ ）.A. B. C. D. 点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得；方法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题 解：方法一：依题设有 是实系数一元二次方程的一个实根； 故选B.方法二：去分母，移项，两边平方得： 故选B.易错点：不能合理地转化为是、的函数或构造来解题.变式与引申1：(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则( ). A. B. C. D.题型二 函数、方程、不等式三
3、者之间的相互转化例2.已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围点拨：首先明确本题是求的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键解：，从而原题转化为：恒成立，为的一次函数（这里思维的转化很重要）当时，不等式不成立令为的一次函数，问题转化为在上恒大于0，则，解得：或 易错点： “主元”的选取容易选错，误认为是关于的二次函数，导致错误.变式与引申2：设不等式对于满足的所有的值都成立，求的取值范围.题型三 函数与方程在解析几何中的应用例3.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.
4、（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨：（1）由右焦点的坐标求得，设左焦点为，由椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线与的距离，由距离等于4列方程解得.由得,因为直线与椭圆有公共点，所以有 解得另一方面，由直线与的距离为4，可得，从而由于，所以符合题意的直线不存在.易错点：忽略.变式与引申3：已知的边边所在直线的方程为满足, 点在AC边所在直线上，且满足 （I）求AC边所在直线的方程；（II）求外接圆的方程；（III）
5、若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程题型四 应用函数与方程研究实际问题例4.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若
6、不存在，请说明理由.点拨：(1)首先把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值. (2)把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.(3)把表示为的函数,由总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,把函数问题转化为一元二次方程的根的分布问题再去求解. 解：（1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为海里，如图8-2，则 故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在处相遇.在中， 此时，轮船航行时间即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（2）设小艇与轮船在处相遇 由题意可得
7、：化简得: 由于，即，所以当时，取得最小值. 即小艇航行速度的最小值海里/小时.（3）由（2）知，设 于是小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程应有两个不等正根，即：，解得 所以的取值范围是易错点：（1）不能建立正确的函数关系以及；（2）对一元二次方程的根的分布不能做出正确判断.变式与引申4：（2010年湖北理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔
8、热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. 本节主要考查： （1）本节考查的是函数与方程的思想方法； （2）主观题即选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，解答题中，则是更深层次地在知识网络的交汇处、从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查. 点 评：1.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或
9、方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3.(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程.函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程，就是求函数的零点.(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.(3) 数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数，用函数的
10、观点处理数列问题十分重要.(4) 函数（）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.习题8-11.设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)2.设函数,对任意恒成立，则实数的取值范围是_.3设为数列的前项和，其中是常数（1） 求及；（2）若对于任意的，成等比数列，求的值.4. 已知函数.
11、若,且,求的取值范围.5.设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（1）求椭圆的焦距； （2）如果,求椭圆的方程.【答案】变式与引申1解：因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在上是奇函数，,得,而由得,又因为在区间上是增函数,所以,所以,即,故选D.变式与引申2：解：令为的一次函数,问题转化为在上恒小于0，则,解得：变式与引申3：M解：（I）, 又边所在直线的方程为，所以直线AC的斜率为又因为点在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为即 （II）AC与AB的交点为A，所以由解得点的坐标为， 又r= 从外接圆的方程为: （I
12、II）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支 因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为 变式与引申4：解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为再由,得，因此，而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 （2），令，即 解得（舍去） 当时，当时， 故是的最小值点，对应的最小值为 当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元.习题8-11.选A.解:先利用周期性，再利用奇偶性得: .2. 提示：由已知得为上的增函数且.若，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意.故，有因为在上的最小值为2，所以，即,解得.3解：（1）解法一：当，（）经验，（）式成立，解法二：由可知，数列是等差数列，故， （2）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 4. 解：方法一：因为,所以,所以或，即(舍去)，或，所以又,所以，令，由“对勾”函数的性质知函数在5.解：（1）设焦距为，由已知可得到直线的距离，故所以椭圆的焦距为4.（2）设,由题意知,直线的方程为联立解得因为即得，而，所以,故椭圆的方程为
