1、过关综合测评第一章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB,AD,BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析结合图形,A,B明显错误;AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D错误.答案C2.(2020湖南张家界期末)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对解析ab=-4+0+4=0,ab.-
2、4-2=-6-3=21,ac.bc=-8+0+8=0,bc,故选C.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.答案D4.已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量OG是()A.OG=OA+23OB+23OCB.OG=12OA+23OB+23OCC.OG=16OA+13OB+13OCD.OG=16OA+13OB+23OC解析OG=
3、OM+MG=OM+23MN=OM+23(MO+OC+CN)=13OM+23OC+13(OB-OC)=16OA+13OB+13OC.答案C5.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QAQB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,73解析Q在直线OP上,可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).QAQB=6x2-16x+10,当x=43时,QAQB最小,这时Q43,43,83.答案C6.(2020江西高安期中)已知两个不
4、重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能解析由题意,计算n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,计算n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.答案A7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为()A.30B.60C.120D.150解析设向量a+b与c的夹角为,因为a+b
5、=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,cos=(a+b)c|a+b|c|=12,所以=60.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120.答案C8.(2020上海闵行期中)长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,
6、2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2,A3B3,A4B4,此时A1B2A1B1=22=4;与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5;A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5;与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4;与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3;A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3;A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+
7、4=3;与A3B2=(0,1,2)相等的向量为A4B1,此时A1B2A4B1=22=4;A4B2=(-1,1,2),A1B2A4B2=1+4=5.综上,集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5中元素的个数为3.答案C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则()A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B
8、对称的点为(5,8,-3)C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)解析由图形及其已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B(4,5,0)对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0).故A,C,D正确.答案ACD10.(2020江苏南通期末)设a,b,c是空间一个基底,下列说法正确的有()A.若ab,bc,则acB.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa
9、+yb+zcD.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底解析对于A,b与a,c都垂直,a,c夹角不一定是2,故A错误;对于B,根据基底的概念可知,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;对于C,根据空间向量的基本定理可知,C正确;对于D,由于a,b,c为空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,设a+b,b+c,c+a共面,不妨设a+b=x(b+c)+(1-x)(c+a),化简得c=xa+(1-x)b,所以a,b,c共面,这与已知矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,可作为空间的一个基底,故D正确.答案BCD11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的是()A
10、.(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2B.A1C(A1B1-A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角是60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|解析由向量的加法得A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,(A1C)2=3(A1B1)2,故A正确;A1B1-A1A=AB1,AB1A1C,A1CAB1=0,故B正确;ACD1是等边三角形,AD1C=60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1与向量A1B的夹角是120,故C不正确;ABAA1,ABAA1=0,故|ABAA1AD|=0,故D不正确.答案AB12
11、.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中正确的结论有()A.B.C.D.解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),ACBD=0,故ACBD,正确;又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD为等边三角形,正确;对于,OA为平面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)2
12、1=-12=-22,因为直线与平面所成的角为锐角或直角,所以AB与平面BCD所成的角为45,故错误;cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故正确.答案ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设a=(2,6,-3),则与a平行的单位向量的坐标为,同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=.解析设与a平行的单位向量为u,则u=a=(2,6,-3),且|u|=1=(2)2+(6)2+(-3)2,解得=17,u=27,67,-37或u=-27,-67,37.
13、设同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=(x,y,z),则ea=0,eb=0,|e|=1,即2x+2y+z=0,4x+5y+3z=0,x2+y2+z2=1,解得x=13,y=-23,z=23或x=-13,y=23,z=-23,e=13,-23,23或e=-13,23,-23.答案27,67,-37或-27,-67,3713,-23,23或-13,23,-2314.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则|a|=.解析a=(1,n,2),b=(-2,1,2),2a-b=(4,2n-1,2).2a-b与b垂直,(2a-b)b=0,-8+2
14、n-1+4=0,解得n=52,a=1,52,2,|a|=1+254+4=352.答案35215.已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),O(0,0,0),点P在平面ABC内,OP平面ABC,则点P的坐标为.解析设P(x,y,z),则OP=(x,y,z).A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),AB=(-1,2,0),BC=(0,-2,1).OP平面ABC,-x+2y=0,-2y+z=0,x=z=2y,P(2y,y,2y),AP=(2y-1,y,2y),BP=(2y,y-2,2y),CP=(2y,y,2y-1).点P在平面ABC内,(2y-1,y,2y)=(2y
15、,y-2,2y)+(2y,y,2y-1),2y-1=2y(+),y=(y-2)+y,2y=2y+(2y-1),y=29,P49,29,49.答案49,29,4916.(2021浙江杭州模拟)已知e1,e2,e3是空间单位向量,e1e2=e2e3=e3e1=12,若空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),|a|=2,则|ae3|的最大值是.解析空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),且e1e2=e2e3=e3e1=12,则|a|2=x2+y2+xy.又由|a|=2,得|a|2=4.即x2+y2+xy=4.又|ae3|=|(xe1+ye2)e3|=12|x+y|,由于x2+y22xy,
16、所以由x2+y2+xy=4,整理得3xy4,即xy43,所以|x+y|2=x2+y2+2xy=x2+y2+xy+xy4+43=163,故|x+y|43,所以|ae3|=12|x+y|23=233,当且仅当x=y=233时,等号成立.答案233四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(
17、AM-AC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM,所以BN=-12a+12b+12c,|BN|2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174,所以|BN|=172,即BN的长为172.18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为3,求侧棱的长.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(
18、BB1+BC)=ABBB1+ABBC+|BB1|2+BB1BC=|AB|BC|cos+|BB1|2=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解由(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+|BB1|2=|BB1|2-1.又|AB1|=|AB|2+|BB1|2=2+|BB1|2=|BC1|,所以cos=|BB1|2-12+|BB1|2=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.19.(12分)(2020北京西城期中)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c;(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值
19、;(3)求ABC的面积.解(1)B(1,-1,-2),C(3,0,-4),BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2).|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),mR,|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)a=AB=(-1,-1,0),b=AC=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2).向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2)
20、,BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-110,sin=1-110=310,ABC的面积SABC=12|AB|AC|sin=1225310=32.20.(12分)设点E,F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点.如图,以C为坐标原点,射线CD,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.(1)求向量D1E与C1F的数量积.(2)若点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,问是否存在直线MN,使MN平面ABCD?若存在,求点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)在给定的空间直角坐标系中,C1(0,0,2),
21、F(2,2,1),C1F=(2,2,-1),D1(2,0,2),E(1,2,0),D1E=(-1,2,-2),所以D1EC1F=-12+22+(-2)(-1)=4.(2)存在唯一直线MN,使MN平面ABCD.若MN平面ABCD,则MN与平面ABCD的一个法向量(0,0,1)平行,所以设M(a,a,m),N(a,a,n),MN=(0,0,n-m),nm.又因为点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,所以D1MD1E,C1NC1F,即D1M=D1E,R,C1N=tC1F,tR,(a-2,a,m-2)=(-,2,-2),(a,a,n-2)=(2t,2t,-t),所以a-2=-,a=2,m-2=-
22、2,a=2t,n-2=-t,解得a=43,m=23,n=43,所以点M,N的坐标分别是M43,43,23,N43,43,43.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,AE=AB2-BE2=AB2-BC22=5.以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=
23、(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则nPM=0,nPN=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,令y=2,可得平面PMN的一个法向量n=(0,2,1).于是|cos|=|nAN|n|AN|=8525.设AN与平面PMN所成的角为,则sin=8525,直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为8525.22.(12分)(2021陕西咸阳模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,且AC=BC=CC1=2,M是AB1,A1B的交点,N是B1C1的中点.(1)求证:MN平面A1BC;(2)求平面AA1B与平面A1BC夹角
24、的大小.(1)证明以C为原点,分别以CB,CC1,CA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由AC=BC=CC1=2,知A1(0,2,2),B1(2,2,0),B(2,0,0),C1(0,2,0),M(1,1,1),N(1,2,0),A1B=(2,-2,-2),CB=(2,0,0),MN=(0,1,-1),MNA1B=0-2+2=0,MNCB=0+0+0=0,MNA1B,MNCB.又CBA1B=B,MN平面A1BC.(2)解作CHAB于点H.平面ABC平面ABB1A1,CH平面A1BA,故平面A1BA的一个法向量为CH=(1,0,1).又由(1)知,平面A1BC的一个法向量为MN=(0,1,-1),cos=CHMN|CH|MN|=-12.平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为3.
