1、模块综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线3x-y-2 021=0的倾斜角等于()A.6B.3C.4D.不存在解析直线3x-y-2021=0化为y=3x-2021,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于3.故选B.答案B2.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x
2、2-y2=1解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,-b=-ba且-bba=-1,a=1,b=1.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0B.2C.1D.2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为x-a22+(y-1)2=a24,圆心坐标为a2,1,圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,中点坐标为a+4
3、4,12,由题意可得a24=1,2a-41=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12ED,设OA=a,OB=b,OC=c,则OE=()A.16a+16b+13cB.13a+13b+13cC.16a+16b-13cD.16a+16b+23c解析CE=12ED,CE=13CD=13CA+AD=13CA+12AB=13CA+16AB,OE=OC+CE=OC+13CA+16AB=OC+13OA-OC+16OB-OA=16OA+16OB+23OC=16a+16b+23c.答案D5.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b
4、0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233解析双曲线的渐近线方程为bxay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=22-12=3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a0|a2+b2=2bc=3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=c2a2=4=2.答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,AA1BB1CC1,AA1平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A.1313B.21313C.2
5、613D.22613解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(3,1,2),A(3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E0,1,32,A1E=-3,0,-12,AC1=(-3,-1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为,则cos=|A1EAC1|A1E|AC1|=21348=2613.异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为2613.答案C7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k0)自上而下顺次与上述两曲线交于M
6、1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是()A.|M1M3|M2M4|B.|FM1|FM4|C.|M1M2|M3M4|D.|FM1|M1M2|解析如图,设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2.又|M1F|=|M1M2|+2,|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4.将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,x1x4=4,|M1M2|M3M4|=4.故选C.答案C8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1
7、(ab0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在上运动.()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线解析作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ(图略).因为PQ是F1PF2的外角的平分线,且PQF2M,所以在PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.答案B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
8、在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线解析mx2+ny2=1,x21m+y21n=1.mn0,1n1m0,C是焦点在y轴上的椭圆,A正确;m=n0,x2+y2=1n,即C是圆,r=nn,B错误;由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,mn0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=nn,表示两条直线,D正确,故选ACD.答案ACD10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D
9、1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是()A.A,M,N,B四点共面B.平面ADM平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60D.BN平面ADM解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A,M,N,B四点不共面,故A错误;对于B,由题意AD平面CDD1C1,故平面ADM平面CDD1C1,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO,ON,可知B1MOB,三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,BN平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.答案BC11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个结论,其中正确的结
10、论是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12B.A1C(A1B1-A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角为60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|解析A中,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故A正确;B中,A1B1-A1A=AB1,由AB1A1C,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60,但AD1与A1B的夹角为120,故C不正确;D中,|ABAA1AD|=0,故D也不正确.答案AB12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C
11、为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.x225+y29=1D.x2=16y解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,b2=c2-a2=9,M的轨迹方程为x216-y29=1.直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;x225+y29=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点,是“好曲线”,C正确;把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲
12、线”,D正确.答案ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,以点12,1为中点的弦所在的直线l的方程是.解析圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).设A12,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直线l的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.答案2x-4y+3=014.在四棱锥P-ABCD中,设向量AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离为.解析设平面ABCD的法向量
13、n=(x,y,z),则ABn=4x-2y+3z=0,ADn=-4x+y=0,令x=3,则y=12,z=4,n=(3,12,4).点P到底面ABCD的距离d=|APn|n|=|-18+24-32|9+144+16=2.答案215.(2019全国,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12
14、|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15).答案(3,15)16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE和该截面所成角的正弦值为.解析取A1D1的中点G,BC的中点P,CD的中点H,连接GM,GN,MN,PE,PH,PF,HF,MGEF,NGEP,MGNG=G,EFEP=E,平面MNG平面PEFH,过EF且与
15、MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,PE=2,EF=12+12=2,四边形PEFH是矩形,过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为S=22.以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),EC=(-1,0,2),EF=(-1,-1,0),EH=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),则nEF=-x-y=0,nEH=-x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,-1,0),设CE和该截面所成角为,则sin=|ECn|EC|n|=152=1010,CE和该
16、截面所成角的正弦值为1010.答案221010四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程;(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?解(1)由题意在平面直角坐标系xOy中,设抛物线方程为y=ax2(a126,木排可安全通过此桥.18.(12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l
17、与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.解(1)由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,R=|-1+4+7|5=25,圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=219.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQMN,|MN|=219,|AQ|=1,由|AQ|=|-k-2+2k|k2+1=1,得k=34.直线l:3x-4y+6=0,故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.19.(12分)(2020山东,20)如图,四棱锥P-A
18、BCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)证明因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC.所以AD平面PDC.因为ADBC,AD不在平面PBC中,所以AD平面PBC,又因为AD平面PAD,平面PAD平面PBC=l,所以lAD.所以l平面PDC.(2)解以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(
19、1,1,0),P(0,0,1),则DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则nDQ=0,nDC=0,即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cos=nPB|n|PB|=-1-a31+a2.设PB与平面QCD所成角为,则sin=33|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因为331+2aa2+163,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.20.(12分)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为322.(1)求抛物
20、线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为0,p2,由点到直线的距离公式可得-p2-22=322,解得p=2(负值舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为x0,x024,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-x0242=4+x0242,化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0R,上述方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,x2+y2=4,解得x=0,y=2,所以圆C恒
21、过定点(0,2).21.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,F是线段AD上的一个动点,且DF=DA(01).如图,将BCE沿BE折起至BEG,使得平面BEG平面ABED.(1)当=12时,求证:EFBG.(2)是否存在,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)当=12时,F是AD的中点,DF=12AD=1,DE=13CD=1.ADC=90,DEF=45.CE=23CD=2,BC=2,BCD=90,BEC=45.BEEF.又平面GBE平面ABED,平面GBE平面ABED=BE,EF平面ABED,
22、EF平面BEG.BG平面BEG,EFBG.(2)存在.以C为原点,CD,CB的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2,0).取BE的中点O,GE=BG=2,GOBE,易证得OG平面BCE,BE=22,OG=2,G(1,1,2).FG=(-2,1-2,2),EG=(-1,1,2),DG=(-2,1,2).设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z),则nDG=-2x+y+2z=0,nEG=-x+y+2z=0,令z=2,则n=(0,-2,2).设FG与平面DEG所成的角为,则sin=|cos|=|-20+(-2)(1-2)+2|66+
23、(1-2)2=13,解得=12或=-710(舍去),存在实数,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13,此时=12.22.(12分)(2020山东,22)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且过点A(2,1).(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.(1)解由题设得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3,所以C的方程为x26+y23=1.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k
24、2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.由AMAN知AMAN=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-10,故2k+3m+1=0,k1.于是MN的方程为y=kx-23-13(k1).所以直线MN过点P23,-13.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由AMAN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.解得x1=2(舍去)或x1=23.此时直线MN过点P23,-13.令Q为AP的中点,即Q43,13.若D与P不重合,则由题设知AP是RtADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=223.若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.
