1、2.2.2直线的两点式方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020山西长治二中高二月考)已知三角形三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程是()A.x-13y+5=0B.x-13y-5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=0解析B(3,-3),C(0,2),线段BC中点的坐标为D0+32,2-32,即D32,-12.则BC边上的中线应过A(-5,0),D32,-12两点,由两点式,得y0+12=x+5-5-32,整理得x+13y+5=0.故选C.答案C2.两条直线xm-yn=1与xn-ym=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的()解析
2、两直线的方程分别化为y=nmx-n,y=mnx-m,易知两直线的斜率符号相同.答案B3.过点P(1,4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析当直线经过原点时,在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0,符合题意;当直线不经过原点时,设直线方程为xa+yb=1,由题意得1a+4b=1,|a|=|b|,解得a=-3,b=3或a=5,b=5.综上,符合题意的直线共有3条.答案C4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为()A.2 019B.2 020C.2 021D.2 022解析直线l的两点式方程为y-(-1)5-
3、(-1)=x-(-1)2-(-1),化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.答案C5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为.解析当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a1时,由两点式,得y-34-3=x-1a-1,整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.答案x-(a-1)y+3a-4=06.斜率为12,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为.解析设直线方程为y=12x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的
4、面积为S=12|b|-2b|=b2.由b2=4,得b=2.所以直线方程为y=12x2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.答案x-2y+4=0或x-2y-4=07.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.解由两点式方程得AB:y-0-2-0=x-(-3)2-(-3),即AB方程为y=-25-65.由两点式方程得BC:y-1-2-1=x-02-0,即BC方程为y=-32x+1.由截距式方程,得AC:x-3+y1=1.即AC方程为y=13x+1.关键能力提升练8.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是()A.-32B.
5、-23C.25D.2解析由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y-19-1=x+13+1,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-32.答案A9.若直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0,b0,b0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以2a+1b=1,即2b+a=ab.又因为OAB面积S=12|OA|OB|=12ab,所以S=12ab=12(2b+a)22ab2=2ab,当且仅当2b=a时,等号成立,所以12ab2ab,解这个不等式,得ab8.从而S=12ab4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.答案413.过点P(4
6、,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为.解析设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0).由点P在直线l上,得4a+1b=1,|OA|+|OB|=a+b=(a+b)4a+1b=5+4ba+ab5+24baab=9,当且仅当4ba=ab,即a=6,b=3时,等号成立.直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y-6=0.答案x+2y-6=014.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.解(1)直线l过点P(4,1),Q(-1
7、,6),所以直线l的方程为y-16-1=x-4-1-4,即x+y-5=0.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-1k.1-4k=24-1k,解得k=14或k=-2.直线l的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=14x或2x+y-9=0.学科素养创新练15.直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)AOB的周长为12;(2)AOB的面积为6?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解存在.设直线方程为xa+yb=1(a0,b0),若满足条件(1),则a+b+a2+b2=12.又直线过点P43,2,43a+2b=1.由可得5a2-32a+48=0,解得a=4,b=3或a=125,b=92,所求直线的方程为x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12,由题意得43a+2b=1,由整理得a2-6a+8=0,解得a=4,b=3,或a=2,b=6,所求直线的方程为x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.5
