1、第1课时 两条直线的交点坐标、两点间的距离1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P102P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程 AxByC0 的解有什么样的关系？核心必知 提示：直线 l 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线 l 的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：若方程组无解，则 l1l2；若方程组有且只有一个解，则 l1 与 l2 相交；若方程组有无数解，则 l1 与 l2 重合(3)已知平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求 P1，P
2、2的距离|P1P2|?提示：当 x1x2，y1y2 时，|P1P2|x2x1|；当 x1x2，y1y2 时，|P1P2|y2y1|；当 x1x2，y1y2 时，|P1P2|x2x12y2y12.2归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可应用：可以利用两条直线的判断两条直线的位置关系一般地，直线 l1：A1xB1yC10 和直线 l2：A2xB2yC20 的位置关系如表所示：交点个数方程组的解一组无数组无解直线 l1 和 l2 的公共点个数个个直线 l1 和 l2 的位置关系相交重合平行一个无数零(2)两点
3、间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|x2x12y2y12特例若 O(0,0)，P(x，y)，则|OP|x2y2问题思考 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|x1x22y1y22的形式？提示：可以，原因是 x2x12y2y12x1x22y1y22，也就是说公式中 P1，P2 两点的位置没有先后之分课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？观察图形，思考下列问题：思考 1 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，
4、那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点 思考 2 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可思考 3 两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2相交的条件是 A1B2A2B10 或A1A2B1B2(A2，B20)(3)若两直线斜率都存在，设两条直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则 l1 与 l2 相交k1k2.讲一讲1求经过两直线 l1：3x4y20 和 l
5、2：2xy20 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程(链接教材 P103例 2)尝试解答 法一：由方程组3x4y20，2xy20，解得x2，y2，即 l1 与 l2 的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率 k 221.故直线 l 的方程为 yx，即 xy0.法二：l2 不过原点，可设 l 的方程为 3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得 1，直线 l 的方程为 5x5y0，即 xy0.(1)两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等 方法三：两直线的斜率一个存在，另
6、一个不存在(2)过两条直线交点的直线方程的求法 常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 练一练1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30.解：(1)解方程组2xy30，x2y10，得x1，y1，所以直线 l1 与 l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组xy20，2x2y30，2，得 10，矛盾，方程组无解所以直线 l1 与 l2 无公共点，即 l1l2.2(
7、2016潍坊高一检测)求经过直线 l1：x3y30，l2：xy10 的交点且平行于直线 2xy30 的直线方程解：法一：由x3y30，xy10，得x0，y1，直线 l1 与 l2 的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线 2xy30 的直线方程为 2xyc0，把(0,1)代入所求的直线方程，得 c1，故所求的直线方程为 2xy10.法二：设过直线 l1、l2 交点的直线方程为 x3y3(xy1)0(R)，即(1)x(3)y30，由题意可知，132，解得 53，所以所求直线方程为83x43y430，即 2xy10.观察下面图形：思考 1 如何求图 1 中 A、B 两点间的距离？提示：|AB|xAx
8、B|.思考 2 图 2 中能否用数轴上两点 A，B 间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解 思考 3 怎样理解两点间的距离公式？名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|x1x22y1y22，利用此公式可以将几何问题代数化(2)当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：直线 P1P2 平行于 x 轴时|P1P2|x2x1|；直线 P1P2 平行于 y 轴时|P1P2|y2y1|.2已知ABC 三顶点坐标 A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC 的形状 尝试解
9、答 法一：|AB|3323122 13，|AC|1327122 13，又|BC|1327322 26，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC 是等腰直角三角形讲一讲法二：kAC711332，kAB 313323，则 kACkAB1，ACAB.又|AC|1327122 13，|AB|3323122 13，|AC|AB|，ABC 是等腰直角三角形1计算两点间距离的方法(1)对 于 任 意 两 点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，则|P1P2|x2x12y2y12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件
10、3保持讲 2 条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点，所以 x312 2，y3722，即点 M 的坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|AM|322122 26，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.练一练3如图，一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x6y25 反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P点所走过的路程讲一讲思路点拨 先求出原点关于 l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程尝试解答 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直线OA 与 l
11、垂直和线段 AO 的中点在 l 上得ba43 1，8a26b225，解得a4，b3，A 的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过 P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为 y3.光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8.由方程组y3，8x6y25，解得x78，y3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y3x78.由光的性质可知，光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度|AP|，由 A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8.光线的入射、反射的问题以及在某定直
12、线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点 M(x，y)，可由方程组 yy0 xx0AB 1AB0，Axx02Byy02C0求得(2)常用对称的特例有：A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A(a，b)；B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B(a，b)；C(a，b)关于直线 yx 的对称点为 C(b，a)；D(a，b)关于直线 yx 的对称点为 D(b，a)；P(a，b)关于直线 xm 的对称点为 P(2ma，b)；Q(a，b)关于直线 yn 的对称点为 Q(a,2nb)练一练3求点 A(2,2)关于直线 2x
13、4y90 的对称点坐标解：设 B(a，b)是 A(2,2)关于直线 2x4y90 的对称点，则有 AB 与已知直线垂直，且线段 AB 的中点在已知直线上12b2a21，2a22 4b22 90.解得 a1，b4.所求对称点坐标为(1,4)1本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系 2本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲 1.(2)计算两点间距离的方法，见讲 2.(3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲 3.3本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲 1,3.
