1、学业分层测评(十一)(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1在ABC中,ABC123,则abc为()A123B11C12D1【解析】由已知得,A30,B60,C90,abcsin Asin Bsin C112.【答案】C2在ABC中,若A105,B45,b2,则c等于()A1B2C.D【解析】C180AB30,由得c2.【答案】B3在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是()Ab10,A45,C70Ba60,c48,B60Ca7,b5,A80Da14,b16,A45【解析】A中只有一解,B中只有一解,C中由得sin Bsin 80.又ba,A80,B唯一,从而只有一解D中由,sin
2、 B,又ab,B有两种情形【答案】D4若,则ABC是()A等边三角形B有一个内角是30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角是30的等腰三角形【解析】由正弦定理得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,所以可化为1,所以tan Btan C1,即BC45,所以ABC是等腰直角三角形【答案】C5在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若acos Absin B,则sin Acos Acos2B()ABC1D1【解析】acos Absin B,sin Acos Asin Bsin B,即sin Acos Asin2B0,sin Acos A(1cos2B)0,sin Ac
3、os Acos2B1.【答案】D二、填空题6在锐角ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a4bsin A,则cos B_.【解析】由2R得a2Rsin A,b2Rsin B,所以sin A4sin Bsin A,即sin B,所以cos B.【答案】7在ABC中,若b1,c,C,则a_.【解析】在ABC中,由正弦定理得,解得sin B,因为C,故角B为锐角,所以B,则A,所以a1.【答案】18已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a1,b,AC2B,则sin C_.【解析】ABC180,且AC2B,B60.由正弦定理得sin A.又ab,A30,C180(3060
4、)90,即sin C1.【答案】1三、解答题9已知ABC中,tan A,tan B,且最长边的长为.求:(1)C的大小;(2)最短边的长【解】(1)tan A,tan B,tan(AB)1.又ABC180,tan Ctan180(AB)tan(AB)1,C135 .(2)由(1)知C为最大角,从而由已知得c,tan Btan A0,ba,故三角形最短边为a.tan A,sin A.又sin C,由正弦定理得最短边a.10在ABC中,已知cos2Bcos2C1cos2A,且sin A2sin Bcos C,求证:bc且A90.【证明】cos2Bcos2C1cos2A,cos2Bcos2C2cos
5、2A1,sin2Bsin2Csin2A,即b2c2a2,ABC为直角三角形,且A90.又sin A2sin Bcos C,sin(BC)2sin Bcos C,sin(BC)0,BC,bc,且A90.能力提升1在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b5c,C2B,则cos C等于()A.BCD【解析】,所以cos B,又cos Ccos 2B2cos2B11.【答案】A2在ABC中,B60,最大边与最小边之比为(1)2,则最大角为()A45B75 C90D105【解析】由题意知B60,既不是最大角也不是最小角设C为最大角,则,即,所以,解得A45,所以C180604575.
6、【答案】B3已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m(,1),n(cos A,sin A)若mn,且acos Bbcos Acsin C,则A,B的大小分别为_【解析】由mn得A.由正弦定理得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(R为ABC的外接圆半径)acos Bbcos Acsin C可变形为sin Acos Bsin Bcos Asin2C,即sin(AB)sin2C.又ABC,ABC,sin(AB)sin Csin2C,sin C1,C,B.【答案】,4在ABC中,已知,且cos(AB)cos C1cos 2C.(1)试确定ABC的形状;(2)求的取值范围. 【导学号:67940035】【解】(1)由正弦定理得,b2a2ab,又2sin Asin B2sin2C,得abc2,b2a2c2,即a2c2b2,三角形为直角三角形(2)由(1)知,显然acb,且212,即.