1、 华东师大二附中2015届暑期练习（四）数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、是第二象限角，则是第 象限角 2、复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .3、已知全集，集合, 若，则实数的值为 .一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与 某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .已知， 则的值为 . 定义在上的奇函数，且当时， （为常数），则的值为 .7、公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则等于 .已知等差数列的通项公式为，则的展开式中项的系数是数列中的第 项9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合.若直线的极坐标方程为，曲线的参数方
2、程为为参数，且，则直线与曲线的交点的直角坐标为 .10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 11、棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .12、是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .13、设为实数，且满足：，则 .14、在区间上，关于的方程解的个数为 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（ ）、 、 、 、16、“”是“函数（）在区间上为增函数”的( )、充分不必要条件 、必要不充分条件、充要条件 、既不
3、充分也不必要条件如果函数在上的最大值和最小值分别为、， 那么.根据这一结论求出的取值范围（ ）.、 、 、 、18、如图，已知点，正方形内接于，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ） 、 、 、 、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱,底面直角梯形，是棱上一点，.（1）求异面直线与所成的角；求证：平面.20、（本题满分14分）已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，求证：不成等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列， 并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（
4、1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.22、（本题满分16分）阅读：已知、，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、，求证：.23、（本题满分18分）已知函数常数）满足.（1）求出的值，并就常数的不同取值讨论函数奇偶性；（2）若在区间上单调递减，求的最小值；（3）在（2）的条件下，当取最小值时，证明：恰有一个零点且存在递增的正整数
5、数列， 使得成立.虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科第二次月考试卷（答案） 2014.051、 一或三;2、3、 4、 . 5 6、.7、 . 8、 20 9、；设取红球个，白球个，则 ，取法为. 11、 .12、9. 13、. 14、个解.15、则，选.16、时，在上为增函数；反之，在区间上为增函数，则，故选.17、求在上的最值，选.18、且长度为1，可设，然后用坐标求解.也可以，答案选.19、解：（1）以原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，.于是,异面直线与所成的角的大小等于.过作交于，在中，则，.又，平面.20、解（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即
6、矛盾.所以不成等比数列.（2）因为,又,所以当，(为正整数)，此时不是等比数列：当时，由上式可知，(为正整数) ，故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.21、解：（1）设，.依题意有，.由，得，解得，故点应选在距点2处.（2）设，.依题意有，令，由，得，当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处.22、解（1），而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.（2），而，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为.（3）当且仅当时取到等号，则.23、解：（1）由得，解得.从而，定义域为当时，对于定义域内的任意，有，为偶函数当时，从而，不是奇函数；，不是偶函数，非奇非偶.对于任意的，总有恒成立，即，得.，从而.又，的最小值等于.（3）在（2）的条件下，.当时，恒成立，函数在无零点当时，对于任意的，恒有，即，所以函数在上递增，又，在是有一个零点.综上恰有一个零点，且15分，得，又，故，取