1、8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理 第八章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1了解直线与平面垂直的定义(重点)2理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直(难点)3理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题(易错点)4能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明(重点)1通过学习直线与平面垂直的判定定理,提升直观想象、逻辑推理的数学素养 2通过学习直线与平面所成的角,提升直观想象、数学运算的数学素养 情境导学探新知 NO.1 木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)
2、检查两次,如图如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直问题:(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?知识点1 直线与平面垂直的定义 定义一般地,如果直线l与平面内的直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直 记法l 有关概念直线l叫做平面的,平面叫做直线l的直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做 任意一条垂线垂面垂足图示 画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?提示 定义中的“任意一条直
3、线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直 1直线l与平面内的无数条直线垂直,则()Al和相互平行 Bl和相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 D 直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内都有可能,如图所示 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 文字语言如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 la,lb,a,b,l 作用判断直线与平面 相交abP垂直2思考辨析(正确的画“”,错误的画“”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直()(2)若直线垂直
4、于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线()(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线()答案(1)(2)(3)3若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OAC C平面OBCD平面ABC C OAOB,OAOC,OBOCO,OA平面OBC 知识点3 直线与平面所成的角 1相关概念:斜线一条直线l与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的交点 射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO 2定义:平面的一条斜线和它在平面上的所成的角,叫做这条直线和
5、这个平面所成的角 3直线与平面所成的角的取值范围:090 射影4如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于_;AB1与平面ADD1A1所成的角等于_;AB1与平面DCC1D1所成的角等于_ 45 45 0 B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45;B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型1 直线与平面垂直的判定【例1】如图,在三棱锥S-ABC中,ABC90,D是AC的中点,且SASBSC(1)求证:SD平面ABC;(2)若ABBC,求证:BD平面S
6、AC 证明(1)因为SASC,D是AC的中点,所以SDAC在RtABC中,ADBD,由已知SASB,所以ADSBDS,所以SDBD又ACBDD,AC,BD平面ABC,所以SD平面ABC(2)因为ABBC,D为AC的中点,所以BDAC由(1)知SDBD 又因为SDACD,SD,AC平面SAC,所以BD平面SAC 证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直:定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);判定定理最常用:要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行
7、转化法(利用推论):ab,ab;,aa 跟进训练 1如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,ANPM,垂足为N 求证:AN平面PBM 证明 设圆O所在的平面为,PA,且BM,PABM 又AB为O的直径,点M为圆周上一点,AMBM 由于直线PAAMA,BM平面PAM,而AN平面PAM,BMAN 又ANPM,AN与PM、BM两条相交直线互相垂直 故AN平面PBM 类型2 直线与平面所成的角【例2】(对接教材P152例4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角 1若图中的POA
8、是斜线PO与平面所成的角,则需具备哪些条件?提示 需要PA,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样POA就是斜线PO与平面所成的角 2空间几何体中,确定线面角的关键是什么?提示 在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确定,则射影确定,线面角确定 解(1)直线A1A平面ABCD,A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A1,则AC 2,tanA1CA 22 (2)连接A1C1交B1D1于O,在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,BB1A1C1,又BB1B1D1B1,A1C1平面BDD
9、1B1,垂足为O A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在RtA1BO中,A1O12A1C112A1B,A1BO30,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30 在本例正方体中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值 解 连接AC交BD于点O,过E作EO1AC交BD于点O1,易证AC平面BB1D1D,EO1平面BB1D1D,B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角设正方体的棱长为aE是AB的中点,EO1AC,O1是BO的中点,EO112AO12 2a2 2a4,B1O1 BO21BB212a42a23 2a4,t
10、anEB1O1 EO1B1O12a43 2a413 求直线与平面所成角的步骤是什么?提示(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算 跟进训练 2在正三棱柱ABC-ABC中,AB1,AA2,求直线BC与平面ABBA所成角的正弦值 解 如图所示,取AB的中点D,连接CD,BD 因为底面ABC是正三角形,所以CDAB 因为AA底面ABC,所以AACD 又AAABA,所以CD
11、侧面ABBA,所以BD是斜线BC在平面ABBA上的射影,CBD是直线BC与平面ABBA所成的角 等边三角形ABC的边长为1,CD 32,在RtBBC中,BC BB2BC2 5,故直线BC与平面ABBA所成的角的正弦值为sinCBDCDBC 1510 当堂达标夯基础 NO.31(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()A B C D BD 对于A,由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由ABCE,ABED,且CEEDE,可得AB平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,由ED平面ABC,可
12、得EDAB,同理可得ECAB,又EDECE,所以AB平面CDE故选BD 2如图所示,若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍,则AB与平面所成的角是()A60 B45 C30D120 A ABO即是斜线AB与平面所成的角,在RtAOB中,AB2BO,所以cosABO12,即ABO60 故选A 3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C平面BC1D 证明 如图,连接AC,则ACBD,又BDA1A,ACAA1A,AC,A1A平面A1AC,BD平面A1AC,A1C平面A1AC,BDA1C 同理可证BC1A1C 又BDBC1B,BD,BC1平面BC1D,A1C平面BC1D 回顾本节知识,自我完成以下问题:(1)直线与平面垂直的定义是什么?(2)直线与平面垂直的判定定理的内容是什么?应用该定理应注意哪些方面?(3)直线与平面所成角的定义是什么?角的取值范围是什么?如何求解?点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!