1、8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理 第八章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1了解直线与平面垂直的定义(重点)2理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(难点)3理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(易错点)4能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明(重点)1通过学习直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养 2通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养 情境导学探新知 NO.1 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)
2、检查两次，如图如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？知识点1 直线与平面垂直的定义 定义一般地，如果直线l与平面内的直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直 记法l 有关概念直线l叫做平面的，平面叫做直线l的直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 任意一条垂线垂面垂足图示 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示 定义中的“任意一条直
3、线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直 1直线l与平面内的无数条直线垂直，则()Al和相互平行 Bl和相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 D 直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内都有可能，如图所示 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 文字语言如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 la，lb，a，b，l 作用判断直线与平面 相交abP垂直2思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直()(2)若直线垂直
4、于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线()(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线()答案(1)(2)(3)3若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OAC C平面OBCD平面ABC C OAOB，OAOC，OBOCO，OA平面OBC 知识点3 直线与平面所成的角 1相关概念：斜线一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的交点 射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO 2定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和
5、这个平面所成的角 3直线与平面所成的角的取值范围：090 射影4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_；AB1与平面ADD1A1所成的角等于_；AB1与平面DCC1D1所成的角等于_ 45 45 0 B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45；B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型1 直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面S
6、AC 证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD又ACBDD，AC，BD平面ABC，所以SD平面ABC(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC由(1)知SDBD 又因为SDACD，SD，AC平面SAC，所以BD平面SAC 证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行
7、转化法(利用推论)：ab，ab；，aa 跟进训练 1如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N 求证：AN平面PBM 证明 设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM 又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM 由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN 又ANPM，AN与PM、BM两条相交直线互相垂直 故AN平面PBM 类型2 直线与平面所成的角【例2】(对接教材P152例4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角 1若图中的POA
8、是斜线PO与平面所成的角，则需具备哪些条件？提示 需要PA，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样POA就是斜线PO与平面所成的角 2空间几何体中，确定线面角的关键是什么？提示 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定 解(1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC 2，tanA1CA 22 (2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1，又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD
9、1B1，垂足为O A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在RtA1BO中，A1O12A1C112A1B，A1BO30，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30 在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值 解 连接AC交BD于点O，过E作EO1AC交BD于点O1，易证AC平面BB1D1D，EO1平面BB1D1D，B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角设正方体的棱长为aE是AB的中点，EO1AC，O1是BO的中点，EO112AO12 2a2 2a4，B1O1 BO21BB212a42a23 2a4，t
10、anEB1O1 EO1B1O12a43 2a413 求直线与平面所成角的步骤是什么？提示(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算 跟进训练 2在正三棱柱ABC-ABC中，AB1，AA2，求直线BC与平面ABBA所成角的正弦值 解 如图所示，取AB的中点D，连接CD，BD 因为底面ABC是正三角形，所以CDAB 因为AA底面ABC，所以AACD 又AAABA，所以CD
11、侧面ABBA，所以BD是斜线BC在平面ABBA上的射影，CBD是直线BC与平面ABBA所成的角 等边三角形ABC的边长为1，CD 32，在RtBBC中，BC BB2BC2 5，故直线BC与平面ABBA所成的角的正弦值为sinCBDCDBC 1510 当堂达标夯基础 NO.31(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A B C D BD 对于A，由AB与CE所成角为45，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由ABCE，ABED，且CEEDE，可得AB平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED平面ABC，可
12、得EDAB，同理可得ECAB，又EDECE，所以AB平面CDE故选BD 2如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45 C30D120 A ABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO12，即ABO60 故选A 3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D 证明 如图，连接AC，则ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C 同理可证BC1A1C 又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线与平面垂直的定义是什么？(2)直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？应用该定理应注意哪些方面？(3)直线与平面所成角的定义是什么？角的取值范围是什么？如何求解？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!