1、第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数 学 习 目 标核 心 素 养 1了解极值的概念，理解极值与导数的关系(难点)2掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值(重点)3会根据函数的极值求参数的值(难点)1通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养2借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知(1)极小值点与极小值如图，函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧，右侧，则把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，叫做函数 y
2、f(x)的极小值f(a)f(x)01极值点与极值的概念(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb 的左侧，右侧，则把点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值f(x)0思考：区间a，b的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？提示 不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点 2极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为(2)极大值与极小值统称为3求函数 yf(x)的极值的方法 解方程 f(x)0，当 f(x0)0 时，(1)如果在 x0 附近的左侧，右侧，那么
3、 f(x0)是极大值.(2)如果在 x0 附近的左侧，右侧，那么 f(x0)是极小值极值点极值f(x)0f(x)0f(x)01函数yx31的极大值是()A1 B0 C2D不存在D y3x20，则函数yx31在R上是增函数，不存在极大值2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C 当f(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点3下列说法不正确的是()A函数y
4、x2有极小值B函数ysin x有无数个极值C函数y2x没有极值Dx0是函数yx3的极值点D yx3，y3x20，yx3无极值(或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误)合 作 探 究 释 疑 难 求函数的极值【例1】求函数f(x)x2ex的极值解 函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00 f(x)极小 值0极大 值4e2 因此当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大
5、值为f(2)4e24e2.求函数极值和极值点的四步骤 1确定函数的定义域；2求方程fx0的根；3用方程fx0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；4由fx在方程fx0的根左右的符号，来判断fx在这个根处取极值的情况.跟进训练1求下列函数的极值点和极值(1)f(x)13x3x23x3；(2)f(x)3x3ln x.解(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00 f(x)极大值极小值 所以x1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值 143，x3是函数f(x)的极小值点，且f(
6、x)极小值6.(2)函数f(x)3x3ln x的定义域为(0，)，f(x)3x23x3x3x2，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，)f(x)0 f(x)极小值 所以x1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值3，无极大值点及无极大值已知函数极值求参数【例2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3ax22bxc(a0)，x1是函数的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根 由根与系数的关系，得2b3a0
7、，c3a1.又f(1)1，abc1.由解得a12，b0，c32.(2)由(1)得f(x)12x332x，f(x)32x232 32(x1)(x1)令f(x)0，得x1；令f(x)0，得1x0)，x1，x2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点 理由如下：f(x)23x113x1 23x13x1x23x23x.又f(x)的定义域为(0，)，当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值，故x1为极小值点，x2为极大值点 函数极值的综合应用 探究问题1如何画三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的大致图象？提示：求出函数的极值
8、点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象 2三次函数f(x)ax3bx2c(a0)的图象和x轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个【例3】已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围思路点拨 由f10求a求fx的极值 画fx的草图数形结合判断m的范围 解 因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1，所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x
9、0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)；单调减区间为(1,1)，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示 因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1)利用导数研究方程根的个数 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟进训练3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画
10、出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23,令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)4时，f(x)2或x0；当 2x 2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)；单调递减区间为(2，2)当x 2时，f(x)有极大值54 2；当x 2时，f(x)有极小值54 2.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示 所以，当54 2a54 2时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根 所以实数a的取值范围为(54 2，54 2)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
