1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题：直线方程与两条直线的位置关系【考纲说明】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。5、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。7、本部分在高考中占5分左右。【知识梳理】一、直线斜率的概念1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
2、交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0。因此，直线的倾斜角的取值范围是0180.2、直线的斜率：倾斜角90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan(90).3、直线的方向向量：设F1(x1，y1)、F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则向量=( x2- x1，y2- y1)称为直线的方向向量。向量=(1，)=(1，k)也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.4、求直线斜率的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.（2）公式法：已知直
3、线过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且x1x2，则斜率k=.（3）方向向量法：若=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=.二、直线方程的几种形式：直线名称方程形式常数意义适用范围备注点斜式y-y0=k(x-x0)k斜率,(x0,y0)线上定点k存在k不存在时 x= x0斜截式y=kx+bk斜率,b为y轴上截距k存在k不存在时 x= x0两点式(x1,y1), (x2,y2)是线上两定点且(x1x2 ,y1,y2),不垂直x,y轴x1=x2时x=x1y1=,y2时y=,y1截距式,b 分别为x,y轴上截距不垂直x,y轴和过原点=b=0时y=kx一般式Ax+By+C=0A,B不
4、同时为0任意直线A,B,C为0时,直线的特点点方向式点法向式三、 两条直线的位置关系1、当直线方程为、时，若，则；若、重合，则；若，则.2、当两直线方程为时，若，则；,若、重合，则；若，则.四、点到直线的距离、直线到直线的距离1、点P到直线的距离为：.2、当，且直线方程分别为时，两直线间的距离为：.五、两直线的夹角若直线、的斜率分别为，则1、 直线到的角满足：.2、直线、所成的角（简称夹角）满足：.若直线、的斜率至少有一个不存在时，可根据图象直接求出所求的角.六、两直线的交点两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数.七、对称问题1、中心对称：设平面上两点关于点对称，则点的坐标满足
5、：；若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于点A对称.2、轴对称：（1）设平面上有直线和两点，若满足下列两个条件：PP1直线；PP1的中点在直线上，则点关于直线对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线对称.（2）对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解：关于轴对称，以代；关于轴对称，以代；关于直线对称，、互换；关于直线对称，以代，同时以代；关于直线对称，以代；关于直线对称，以代；（3）对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点关于直线对称 则【经典例题
6、】【例1】（2015年上海高考真题）若为三角形中最大内角，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D.【例2】（七宝中学）设过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【例3】（大同中学）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是（ ）A. xy50 B. 2xy10C. 2yx40 D. 2xy70【例4】（交大附中）直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是（ ） A. 3x2y10 B. 3x2y70C. 2x3y50 D
7、. 2x3y80【例5】（上师大附中）若点(5，b)在两条平行直线6x8y10与3x4y50之间，则整数b的值为（ ）A、5 B. 5 C. 4 D. 4【例6】（延安中学）经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ） A. x2y60 B. 2xy60 C. x2y70 D. x2y70【例7】（格致中学）若k，1，b三个数成等差数列，则直线ykxb必经过定点()A. (1，2) B. (1,2) C. (1,2) D. (1，2)【例8】（建平中学）若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则线段AB
8、的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 4【例9】（2016年高考真题）过点A(4，1)和双曲线1右焦点的直线方程为_【例10】（复兴高级中学）已知A(3,1)、B(1,2)，若ACB的平分线在yx1上， 则AC所在直线方程是_【课堂练习】1、（格致中学）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 （ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-22、（实验中学）设过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3、（大同中学）设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin
9、+cos=0，则a、b满足（ ） A. a+b=1B. a-b=1 C. a+b=0D. a-b=04、（七宝中学）过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5、（上海中学）与直线的方向向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 6、（复旦附中）已知三条直线不能构成三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7、（大同中学）已知两条直线（其中是实数），当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8、（延安中学）点到直线的距离小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9、如果点在两条平行直线和之间，则整数的值为（
10、） A. 5B. -5 C. 4D. -410、在平面直角坐标系内，将直线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线，与的距离为，则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 11、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 12、曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. ABC13、（交大附中）如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是（ ） A. B. C. D. 14、（建平中学）直线关于直线对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 15、(上师大附中）若直线通过点，则（ ） A.
11、 B. C. D. 16、（2011上海）在平面直角坐标系中，若定点与动点满足，则点的轨迹方程是_.17、（2009上海）光线从点出发射到轴上，被轴反射到轴上，又被轴发射后到点，则光线所经过的路程长为_.18、（大同中学）过点作一直线，使其在两坐标轴上的截距为正，当其和最小时，这条直线的方程为_.19、将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，且点与点重合，则_.20、如图，一列载着危重病人的火车从地出发，沿射线方向行驶，其中。在距离地千米、北偏东角的处住有一位医学专家，其中。现120指挥中心紧急调离地正东千米处的救护车，先到处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在处相遇。经测算，当两车
12、行驶的路线与所围成的三角形面积最小时，抢救最及时。（1）在以为原点，正北方向为轴的直角坐标系中，求射线所在的直线方程；（2）求关于的函数关系式；（3）当为何值时，抢救最及时？【课后作业】1已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 2 D. 102直线xsin y20的倾斜角的取值范围是（ ） A. ，) C. D. (，)3直线2xy20绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是（ ） A. x2y40 B. x2y40C. x2y40 D. x2y404设点A(2,3)，B(3,2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取
13、值范围是（ ）A. (，) B. (，)C. D. (，)5已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 16直线AxBy10在y轴上的截距是1，而且它的倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍，则（ ） A. A，B1 B. A，B1C. A，B1 D. A，B17、直线（，）的倾斜角的范围是（） A. B. C. D. 8、设点，若直线与线段AB有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9、在直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为，若直线将ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是（ ） A. B. C. D.
14、10、已知，P为轴上的点，如果的绝对值最大，则P点的坐标为（） A. B. C. D. 11、过点且与原点距离最大的直线方程是 （ ） A. B. C. D. 12、直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 13、已知直线和的夹角平分线为，如果的方程为(0)，那么的方程为（ ）A. B. C. D. 14、已知两条直线，则是直线的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15、将直线绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A. B. C. D. 16、设(为常数)，则直线恒过定点_.17、实数满足(13)，
15、则的最大值、最小值分别是_.18、若直线与有两个交点，则的取值范围是_.19、设点在直线上，且到原点的距离与到直线的距离相等，则点坐标是_.三、解答题：20、在ABC中，已知A(5，2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程。21、为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？【参考答案】【课堂练习】1、B 2、D 3、D 4、A 5、D 6、B 7、C 8、B 9、C 1
16、0、B 11、A 12、D 13、D 14、D 15、D16、；17、；18、；19、120、解：（1）由得直线的方程为 （2）设点，则 直线的方程为，由得的纵坐标 （3）由（2） 因此，当千米时，抢救最及时。【课后作业】1、 B 2、B 3、D 4、B 5、C 6、B 7、C 8、D 9、A 10、B 11、A 12、D 13、A 14、B 15、A16、 ；17、 ，-1；18、-1k1；19、20、解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有0，0，x5，y3.即点C的坐标为(5，3)(2)由题意知，M(0，)，N(1,0)，直线MN的方程为x1，即5x2y50.21、解：建立如图所示直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，于是，线段EF的方程是1(0x30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则：S|PQ|PR|(100m)(80n)，因为1，所以n20(1)，所以S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)，于是，当m5时，S有最大值，这时.答：当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大。- 19 - 版权所有高考资源网
