1、第4章幂函数、指数函数和对数函数4.4函数与方程4.4.2计算函数零点的二分法课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的解落在区间()A.1,1.25B.1.25,1.5C.1.5,2D.不能确定答案B解析f(1)0,f(1.25)0,f(1.25)f(1.5)0,f(1.406 25)0,又因为题中要求误差不超过0.02,所以方程的近似解为1.422,故选D.3.(多选题)下列关于函数y=f(x),xa,b的说法错误的是()A.若x0a,b且满足f(x0)=0,则x
2、0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在a,b上的零点,则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值答案BCD解析x0a,b且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD.4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间2,3内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为.答案2,
3、2.5解析因为f(2)0,f(3)0,所以f(2)f(2.5)0.所以下一个有解区间应为2,2.5.5.下表是连续函数f(x)在区间1,2上一些点的函数值:x11.251.3751.52f(x)-2-0.984-0.2600.6256由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为(误差不超过0.1).答案1.437 5解析由题中表格对应的数值可得,方程的近似解为1.437 5.6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.(1)证明:f(x)有且只有一个零点;(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.(1)证明令x1x20,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且1,x1-x
4、20.f(x1)f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+)上是增函数,f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln 2-20,f(2)f(3)0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.(2)解f(2)0,取x1=,f=ln-10,f(3)f0.ff0.x0.又=,满足题意的区间为.关键能力提升练7.(2020江西南昌校级月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间0,2上的零点,要求误差不超过0.01时,计算中点函数值的次数最少为()A.6B.7C.8D.9答案B解析根据题意,原来区间0,2的长度等于2,每经过二分法的一次操作,区间长
5、度变为原来的一半,则经过n次操作后,区间的长度为,依题意得100,所以nlog2100.因为6=log264log2100log2128=7,所以n7.则计算中点函数值的次数最少为7.故选B.8.用二分法求方程ln x-=0在1,2上的解时,取中点c=1.5,则下一个有解区间为()A.1,1.25B.1,1.5C.1.25,1.5D.1.5,2答案D解析令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln-ln e2(ln 4-2)=0,所以下一个有解区间为1.5,2.故选D.9.(多选题)若函数f(x)的图
6、象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,内,则与f(0)符号不同的是()A.fB.f(2)C.f(1)D.f答案BD解析由二分法的步骤可知:零点在区间(0,4)内,则有f(0)f(4)0,f(4)0,取中点2;零点在区间(0,2)内,则有f(0)f(2)0,f(2)0,取中点1;零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,f(2)0,取中点;零点在区间1,内,则有f(1)f0,f0,则取中点;零点在区间内,则有ff0,f0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(mR)的一个零点附近的函数值的参考
7、数据如下表:x00.50.531 250.562 50.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(误差不超过0.02)可能是()A.0.547B.-0.009C.0.562 5D.0.066答案A解析设近似解为x0,因为f(0.531 25)0,所以x0(0.531 25,0.562 5).因为0.562 5-0.531 25=0.031 250.04,所以方程的近似解可取为0.547,故选A.11.(2020湖北黄石高一期中)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数
8、据如下:f(1.600 0)0.200f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.550 0)-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为(误差不超过0.01).答案1.556解析由表知方程的近似解为1.556,误差不超过0.007.12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x-2,-1有零点,并指出用二分法求零点的近似值(误差不超过0.1)时,至少需要进行多少次中点函数值的计算.解因为f(-2)=-8-4+5=-70,所以f(-2)f(-1)0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间-2,-1上有零点x0.至少需要进行3次中点函数值的计算,理由如下:取区
9、间-2,-1的中点x1=-,且f-=-+5=-0,所以x0-,-.取区间-,-的中点x3=-,且f-=+50,所以x0-,-.因为-0.2,所以区间-,-的中点x4=-即为零点的近似值,即x0-,所以至少需进行3次中点函数值的计算.学科素养创新练13.(2020云南曲靖高一期中)函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(误差不超过0.2);若没有零点,说明理由.(参考数据:1.18,1.225,1.323,log21.250.32,log21.50.585,log21.750.807)解g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数.g(1)=1+log21-2=-10,函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.g(1.5)=+log21.5-21.225+0.585-2=-0.190,函数的零点在(1.5,1.75)内.1.75-1.5=0.250.4,g(x)零点的近似值为1.625.6
